分析 (Ⅰ)化簡(jiǎn)f(x)=x|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{2x-{x}^{2},x≤2}\\{{x}^{2}-2x,x>2}\end{array}\right.$,從而作其圖象,并寫(xiě)出單調(diào)增區(qū)間;
(Ⅱ)化簡(jiǎn)f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+ax,x≤a}\\{{x}^{2}-ax,x>a}\end{array}\right.$,分類(lèi)討論以確定函數(shù)的單調(diào)性,從而比較以確定函數(shù)的最小值.
解答 解:(Ⅰ)當(dāng)a=2時(shí),f(x)=x|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{2x-{x}^{2},x≤2}\\{{x}^{2}-2x,x>2}\end{array}\right.$,
故作其圖象如右圖,
函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,1],(2,+∞);
(Ⅱ)f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+ax,x≤a}\\{{x}^{2}-ax,x>a}\end{array}\right.$,
①當(dāng)1<$\frac{a}{2}$<2,即2<a<4時(shí),
f(x)在[1,$\frac{a}{2}$]上是增函數(shù),在($\frac{a}{2}$,2]上是減函數(shù);
而f(1)=a-1,f(2)=2a-4,
故f(1)-f(2)=a-1-2a+4=3-a,
故當(dāng)2<a≤3時(shí),
f(1)≥f(2),
故fmin(x)=f(2)=2a-4;
當(dāng)3<a<4時(shí),
f(1)<f(2),
故fmin(x)=f(1)=a-1;
②當(dāng)a≥4時(shí),f(x)在[1,2]上是增函數(shù),
故fmin(x)=f(1)=a-1;
綜上所述,fmin(x)=$\left\{\begin{array}{l}{2a-4,2<a≤3}\\{a-1,a>3}\end{array}\right.$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用,同時(shí)考查了分類(lèi)討論的思想應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用.
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A. | 2 | B. | 3 | C. | 4 | D. | 5 |
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A. | 0 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
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A. | y=x2cosx | B. | y=x2sinx | C. | y=2-x | D. | y=|lnx| |
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A. | 2 | B. | $\frac{3}{2}$ | C. | $\frac{3}{4}$ | D. | $\frac{2}{3}$ |
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