Question

20．已知平面M內(nèi)有4個點(diǎn)，平面N內(nèi)有5個點(diǎn)，問這九個點(diǎn)最多能確定（1）多少個平面？（2）多少個四面體？

Answer 1

分析 這九個點(diǎn)中，任取三個點(diǎn)，需要分四種情況，一是三點(diǎn)均在平面α內(nèi)，二是三點(diǎn)均在平面β內(nèi)，三是平面α內(nèi)取兩個點(diǎn)，在平面β內(nèi)取一個點(diǎn)，四是平面α內(nèi)取一個點(diǎn)，在平面β內(nèi)取兩個點(diǎn)；這九個點(diǎn)中，任取四個點(diǎn)，需要分四種情況，一是三點(diǎn)均在平面α內(nèi)，二是三點(diǎn)均在平面β內(nèi)，三是平面α內(nèi)取兩個點(diǎn)，在平面β內(nèi)取一個點(diǎn)，四是平面α內(nèi)取一個點(diǎn)，在平面β內(nèi)取兩個點(diǎn)，我們利用組合數(shù)公式易得結(jié)果．

解答 解：從9個點(diǎn)中取3時，確定的平面分以下幾種情況：
①當(dāng)三點(diǎn)均在平面α內(nèi)時，確定的平面即為α，即滿足條件的平面有1個；
②當(dāng)三點(diǎn)均在平面β內(nèi)時，確定的平面即為β，即滿足條件的平面有1個；
③當(dāng)三點(diǎn)在平面α內(nèi)取兩個點(diǎn)，在平面β內(nèi)取一個點(diǎn)時，確定的平面?zhèn)�數(shù)有C₄²C₅¹=30個，
④當(dāng)三點(diǎn)在平面α內(nèi)取一個點(diǎn)，在平面β內(nèi)取兩個點(diǎn)時，確定的平面?zhèn)�數(shù)有C₄¹C₅²=40個，
故滿足答案的平面共有72個；
從9個點(diǎn)中取3時，確定的四面體分以下幾種情況：
①當(dāng)四點(diǎn)在平面α內(nèi)取三個點(diǎn)，在平面β內(nèi)取一個點(diǎn)時，確定的平面?zhèn)�數(shù)有C₄³C₅¹=20個，
②當(dāng)四點(diǎn)在平面α內(nèi)取二個點(diǎn)，在平面β內(nèi)取兩個點(diǎn)時，確定的平面?zhèn)�數(shù)有C₄²C₅²=60個，
③當(dāng)四點(diǎn)在平面α內(nèi)取一個點(diǎn)，在平面β內(nèi)取三個點(diǎn)時，確定的平面?zhèn)�數(shù)有C₄¹C₅³=40個，
故滿足答案的四面體共有120個．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是平面的性質(zhì)及推論，根據(jù)公理2不共線三點(diǎn)確定一個平面，我們分類討論三點(diǎn)的位置情況，易得結(jié)論，屬于中檔題．