Question

20．已知平面M內有4個點，平面N內有5個點，問這九個點最多能確定（1）多少個平面？（2）多少個四面體？

Answer 1

分析 這九個點中，任取三個點，需要分四種情況，一是三點均在平面α內，二是三點均在平面β內，三是平面α內取兩個點，在平面β內取一個點，四是平面α內取一個點，在平面β內取兩個點；這九個點中，任取四個點，需要分四種情況，一是三點均在平面α內，二是三點均在平面β內，三是平面α內取兩個點，在平面β內取一個點，四是平面α內取一個點，在平面β內取兩個點，我們利用組合數(shù)公式易得結果．

解答 解：從9個點中取3時，確定的平面分以下幾種情況：
①當三點均在平面α內時，確定的平面即為α，即滿足條件的平面有1個；
②當三點均在平面β內時，確定的平面即為β，即滿足條件的平面有1個；
③當三點在平面α內取兩個點，在平面β內取一個點時，確定的平面?zhèn)�數(shù)有C₄²C₅¹=30個，
④當三點在平面α內取一個點，在平面β內取兩個點時，確定的平面?zhèn)�數(shù)有C₄¹C₅²=40個，
故滿足答案的平面共有72個；
從9個點中取3時，確定的四面體分以下幾種情況：
①當四點在平面α內取三個點，在平面β內取一個點時，確定的平面?zhèn)�數(shù)有C₄³C₅¹=20個，
②當四點在平面α內取二個點，在平面β內取兩個點時，確定的平面?zhèn)�數(shù)有C₄²C₅²=60個，
③當四點在平面α內取一個點，在平面β內取三個點時，確定的平面?zhèn)�數(shù)有C₄¹C₅³=40個，
故滿足答案的四面體共有120個．

點評 本題考查的知識點是平面的性質及推論，根據(jù)公理2不共線三點確定一個平面，我們分類討論三點的位置情況，易得結論，屬于中檔題．