Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+bx+1（a≠0、b∈R），若f（-1）=0，且對任意實(shí)數(shù)x（x∈R）不等式f（x）≥0恒成立．
（1）求實(shí)數(shù)a、b的值；
（2）當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，g（x）=f（x）-kx是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
（3）求f（x）在x∈[t，t+2]的最大值h（t）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（-1）=0，△≤0，解出即可；（2）先求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出k的范圍即可；（3）通過討論t的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出h（t）．

解答 解：（1）由題意可得f（-1）=a-b+1=0，即b=a+1．…（1分）
再根據(jù)△=b²-4a=（a-1）²≤0，且 a＞0，…（3分），求得a=1，b=2．…（4分）
（2）由（1）可得f（x）=x²+2x+1，故g（x）=f（x）-kx=x²+（2-k）x+1的圖象的對稱軸方程為x=$\frac{k-2}{2}$．…（5分）
再由當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，g（x）=f（x）-kx是單調(diào)函數(shù)，可得 $\frac{k-2}{2}$≤-2，或 $\frac{k-2}{2}$≥2，…（7分），求得k≤-2，或 k≥6．…（8分）
（3）∵f（x）=（x+1）²，x∈[t，t+2]，
∴當(dāng)$\frac{t+t+2}{2}$≤-1時(shí)，即t≤-2時(shí)，f（x）_max=f（t）=（t+1）²，
當(dāng)$\frac{t+t+2}{2}$＞-1時(shí)，即t＞-2時(shí)，f（x）_max=f（t+2）=（t+3）²，
∴h（t）=$\left\{\begin{array}{l}{{（t+1）}^{2}，t≤-2}\\{{（t+3）}^{2}，t＞-2}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考察了二次函數(shù)的性質(zhì)，考察函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考察分類討論思想，是一道中檔題．