Question

10．已知定義域為R的函數(shù)f（x）滿足：①x∈（0，1]時，f（x）=2^x-1；②對任意x∈R均有f（x+1）=2f（x）．定義[x]是不超過x的最大整數(shù)，如[-0.1]=-1，[1.2]=1，g（x）=$\frac{[x]}{x}$．
（1）求f（2）的值；
（2）求函數(shù)f（x）在（1，2]上的解析式；
（3）設(shè)不等式f（x）≤8在區(qū)間（-∞，a]上恒成立時a的最大值為M，且函數(shù)h（x）=g（x）-t（x∈（0，M]）僅有三個零點，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令x=1代入f（x+1）=2f（x），再計算出f（1）即可；
（2）根據(jù)f（x+1）=2f（x）及x∈（0，1]時，f（x）=2^x-1，可以得出x∈（1，2]時，f（x）=2^x-2；
（3）分別求出x∈（2，3]，（3，4]，（4，5]的函數(shù)解析式，根據(jù)f（x）≤8得出M=4，再畫出g（x）在（0，4]內(nèi)的函數(shù)圖象，運用數(shù)形結(jié)合求出t的取值范圍；

解答 解：（1）根據(jù)題意，因為，x∈（0，1]時，f（x）=2^x-1，
且對任意x∈R均有f（x+1）=2f（x），
所以，令x=1代入上式得，
f（2）=2f（1）=2（2¹-1）=2；
（2）因為，f（x+1）=2f（x），
所以，f（x）=2f（x-1），
當(dāng)x∈（1，2]時，f（x）=2f（x-1）=2（2^x-1-1）=2^x-2，
即x∈（1，2]時，f（x）=2^x-2；
（3）由（2）知，x∈（1，2]時，f（x）=2^x-2≤2恒成立，
當(dāng)x∈（2，3]時，f（x）=2f（x-1）=2（2^x-1-2）=2^x-4≤4恒成立，
當(dāng)x∈（3，4]時，f（x）=2f（x-1）=2（2^x-1-4）=2^x-8≤8恒成立，
當(dāng)x∈（4，5]時，f（x）=2f（x-1）=2（2^x-1-8）=2^x-16≤16恒成立，
由于不等式f（x）≤8在區(qū)間（-∞，a]上恒成立時a的最大值為M，所以M=4，
當(dāng)x∈（0，4]時，g（x）=$\frac{[x]}{x}$的圖象如右圖所示：
顯然，方程g（x）=1在（0，4]內(nèi)有四個根，g（x）=$\frac{3}{4}$在（0，4]內(nèi)有兩個根，
因此，要使h（x）=g（x）-t有三個零點，則t∈（$\frac{3}{4}$，1），
即實數(shù)t的取值范圍為：（$\frac{3}{4}$，1）．

點評 本題主要考查了函數(shù)解析式的求法以及函數(shù)值的確定，函數(shù)零點的判斷，涉及抽象函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)合的解題思想，屬于難題．