Question

19．已知點P（x，y）是圓x²+y²=2y上的動點，
（1）求z=2x+y的取值范圍； 
（2）若x+y+a≥0恒成立，求實數a的取值范圍．
（3）求x²+y²-16x+4y的最大值，最小值．

Answer 1

分析 （1）令x=cosα，y=1+sinα，α∈[0，2π），由三角函數的性質能求出2x+y的范圍．
（2）由已知c≥-x-y恒成立，由-x-y=-sinα-cosα-1=-$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）-1，能求出c的范圍．
（3）x²+y²-16x+4y=cos²α+（1+sinα）²-16cosα+4（1+sinα），由此利用三角函數能求出x²+y²-16x+4y的最大值，最小值．

解答 解：（1）∵P是圓x²+y²-2y=0上的動點，∴P是圓x²+（y-1）²=1上的動點，
∴令x=cosα，y=1+sinα，α∈[0，2π），
∴2x+y=sinα+2cosα+1=$\sqrt{5}$sin（α+β）+1，
∴2x+y的范圍是[1-$\sqrt{5}$，1+$\sqrt{5}$]．
（2）∵x+y+c≥0恒成立，∴c≥-x-y恒成立
∵-x-y=-sinα-cosα-1=-$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）-1
∴-x-y的最大值為$\sqrt{2}$-1，
∴c的范圍是[$\sqrt{2}$-1，+∞）．
（3）x²+y²-16x+4y=cos²α+（1+sinα）²-16cosα+4（1+sinα）
=6sinα-16cosα+6=2$\sqrt{73}$sin（α+θ）+6，
∴x²+y²-16x+4y的最大值是6+2$\sqrt{73}$，最小值是6-2$\sqrt{73}$．

點評 本題主要考查了圓的參數方程，以及恒成立問題和正弦函數的值域問題，考查點到直線距離公式、等價轉化思想的合理運用．