Question

3．已知函數(shù)f（x）=2x³+$\frac{3}{2}$tx²-3t²x+$\frac{t-1}{2}$，x∈R，其中t∈R．
（Ⅰ）當(dāng)t=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)t≠0時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）證明：對(duì)任意的t∈（0，+∞），f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)均存在零點(diǎn)．

Answer 1

分析 （I）當(dāng)t=1時(shí)，求出函數(shù)f（x），利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出x=0處的切線的斜率，利用點(diǎn)斜式求出切線方程；
（II）根據(jù)f'（x）=0，解得x=-t或x=$\frac{t}{2}$，討論t的正負(fù)，在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0求出單調(diào)區(qū)間即可；
（III）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性分兩種情況討論，當(dāng)$\frac{t}{2}$≥1與當(dāng)0＜$\frac{t}{2}$＜1時(shí)，研究函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)區(qū)間端點(diǎn)的符號(hào)進(jìn)行判定對(duì)任意t∈（0，2），f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)均存在零點(diǎn)從而得到結(jié)論．

解答 解：（I）當(dāng)t=1時(shí)，f（x）=2x³+$\frac{3}{2}$x²-3x，f（0）=0，
f'（x）=6x²+3x-3，f'（0）=-3，
所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y=-3x；
（II）解：f'（x）=6x²+3tx-3t²，
f'（x）=0，解得x=-t或x=$\frac{t}{2}$，
∵t≠0，以下分兩種情況討論：
（1）若t＜0，則$\frac{t}{2}$＜-t，∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，$\frac{t}{2}$），（-t，+∞）；
f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（$\frac{t}{2}$，-t）；
（2）若t＞0，則$\frac{t}{2}$＞-t，∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，-t），（$\frac{t}{2}$，+∞）；
f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（-t，$\frac{t}{2}$）；
（III）證明：由（II）可知，當(dāng)t＞0時(shí)，f（x）在（0，$\frac{t}{2}$）內(nèi)單調(diào)遞減，
在（$\frac{t}{2}$，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，以下分兩種情況討論：
（1）當(dāng)$\frac{t}{2}$≥1，即t≥2時(shí)，f（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減．
f（0）=$\frac{1}{2}$（t-1）＞0，f（1）=-3t²+2t+$\frac{3}{2}$＜0，
所以對(duì)于任意t∈[2，+∞），f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)均存在零點(diǎn)．
（2）當(dāng)0＜$\frac{t}{2}$＜1，即0＜t＜2時(shí)，f（x）在（0，$\frac{t}{2}$）內(nèi)單調(diào)遞減，
在（$\frac{t}{2}$，1）內(nèi)單調(diào)遞增；
若t∈（0，1]，f（$\frac{t}{2}$）=-$\frac{7}{8}$t³+$\frac{1}{2}$（t-1）≤-$\frac{7}{8}$t³＜0，
f（1）=-3t²+2t+$\frac{3}{2}$≥-t+$\frac{3}{2}$＞0，
所以f（x）在（$\frac{t}{2}$，1）內(nèi)存在零點(diǎn)．
若t∈（1，2），f（$\frac{t}{2}$）=-$\frac{7}{8}$t³+$\frac{1}{2}$（t-1）＜-$\frac{7}{8}$t³+1＜0，f（0）=$\frac{1}{2}$（t-1）＞0，
∴f（x）在（0，$\frac{t}{2}$）內(nèi)存在零點(diǎn)．
所以，對(duì)任意t∈（0，2），f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)均存在零點(diǎn)．
綜上，對(duì)于任意t∈（0，+∞），f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)均存在零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、曲線的切線方程、函數(shù)零點(diǎn)、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了計(jì)算能力和分類討論的思想．