Question

15．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為a的菱形，平面PCD⊥平面ABCD，PC=a，PD=$\sqrt{2}$a，E為PA的中點(diǎn)，求證：平面EDB⊥平面ABCD．

Answer 1

分析 由勾股定理得PC⊥CD，從而PC⊥平面ABCD連接BD，AC，交于點(diǎn)O，再連接OE，則OE∥PC，從而OE⊥平面ABCD，由此能證明平面EDB⊥平面ABCD．

解答 證明：∵四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為a的菱形，PC=a，PD=$\sqrt{2}$a，
∴PC²+CD²=PD²，
由勾股定理得PC⊥CD，
又∵平面 PCD⊥平面ABCD，PC∈平面PCD，且平面PCD∩平面ABCD=CD，
∴PC⊥平面ABCD
連接BD，AC，交于點(diǎn)O，再連接OE，
則OE∥PC，
又∵PC⊥平面ABCD，
∴OE⊥平面ABCD，
∵OE∈平面EDB，
∴平面EDB⊥平面ABCD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．