Question

11．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A⊥平面ABC，△ABC是邊長為2的正三角形，D是AC的中點．
（Ⅰ）求證；B₁C∥平面A₁BD；
（Ⅱ）若直線AB₁與平面A₁BD所成的角的正弦值為$\frac{\sqrt{21}}{7}$，求此三棱柱的體積．

Answer 1

分析 （1）連結AB₁交A₁B于M，連結DM，由中位線定理可得DM∥B₁C，于是B₁C∥平面A₁BD；
（2）以D為坐標原點建立空間坐標系，求出平面A₁BD的法向量$\overrightarrow{n}$，則cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{A{B}_{1}}$＞=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，解出棱柱的高，再求出棱柱的體積．

解答 解：（1）連結AB₁交A₁B于M，連結DM
∵四邊形ABB₁A₁是平行四邊形，
∴M是AB₁的中點，又D是AC的中點，
∴DM∥B₁C．又DM?平面A₁BD，B₁C?平面A₁BD，
∴B₁C∥平面A₁BD．
（2）以D為坐標原點建立如圖所示的空間坐標系，設棱柱高AA₁=h．
則A（1，0，0），B（0，$\sqrt{3}$，0），D（0，0，0），A₁（1，0，h），B₁（0，$\sqrt{3}$，h）．
∴$\overrightarrow{DB}$=（0，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（1，0，h），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（-1，$\sqrt{3}$，h）．
設平面A₁BD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{DB}$，$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{D{A}_{1}}$
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}y=0}\\{x+hz=0}\end{array}\right.$，設z=1，則$\overrightarrow{n}$=（-h，0，1）．
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}$=2h．
∵直線AB₁與平面A₁BD所成的角的正弦值為$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{A{B}_{1}}$＞=$\frac{2h}{\sqrt{{h}^{2}+1}\sqrt{{h}^{2}+4}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．解得h=$\sqrt{3}$．
∴V${\;}_{棱柱ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=S_△ABC•h=$\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}×\sqrt{3}$=3．

點評 本題考查了線面平行的判定，空間角的計算，棱柱的體積計算，屬于中檔題．