Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$cos²x+sinxcosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期T，并求出函數(shù)f（x）在區(qū)間上的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求在[0，10π）內(nèi)使f（x）取到最大值的所有x的和．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求函數(shù)f（x）的最小正周期T，并求出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求在[0，3π）內(nèi)使f（x）取到最大值的所有x的和．

解答 解：（1）∵f（x）=$\sqrt{3}$cos²x+sinxcosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1+cos2x）+$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin（2x+$\frac{π}{3}$）．（3分）
∴最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$，（6分）
∴由2kπ$-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得單調(diào)遞增區(qū)間為：[k$π-\frac{5π}{12}$，kπ$+\frac{π}{12}$]，k∈Z （9分）
（2）（2）f（x）=1即sin（2x+$\frac{π}{3}$）=1，則2x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$
于是x=kπ+$\frac{π}{12}$（k∈Z）
∵0≤x＜10π，
∴k=0，1，2，…9
∴在[0，10π）內(nèi)使f（x）取到最大值的所有x的和為45π+$\frac{5π}{6}$．（14分）

點評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，要求熟練三角函數(shù)的單調(diào)性，周期，以及最值的應(yīng)用，屬于中檔題．