Question

15．如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AB=10，O為BC上一點，以O為圓心，OB為半徑作半圓與BC邊、AB邊分別交于點D、E，連結DE．
（Ⅰ）若BD=6，求線段DE的長；
（Ⅱ）過點E作半圓O的切線，切線與AC相交于點F，證明：AF=EF．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若BD是直徑，∠DEB=90°，可得$\frac{BE}{BD}$=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{4}{5}$，利用BD=6，求出BE，即可求線段DE的長；
（Ⅱ）證明∠AEF=∠A，即可證明AF=EF．

解答 （Ⅰ）解：∵BD是直徑，∴∠DEB=90°，
∴$\frac{BE}{BD}$=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{4}{5}$，∵BD=6，∴BE=$\frac{24}{5}$，
在Rt△BDE中，DE=$\sqrt{B{D}^{2}-B{E}^{2}}$=$\frac{18}{5}$．（5分）
（Ⅱ）證明：連結OE，
∵EF為切線，∴∠OEF=90°，
∴∠AEF+∠OEB=90°，
又∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，
又∵OE=OB，∴∠OEB=∠B，
∴∠AEF=∠A，∴AE=EF．（10分）

點評 本題考查直徑的性質，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．