Question

13．設cos（α+β）sinα-sin（α+β）cosα=$\frac{12}{13}$，且β是第四象限角，則tan$\frac{β}{2}$=（　　）

• A． ±$\frac{2}{3}$
• B． ±$\frac{3}{2}$
• C． -$\frac{3}{2}$
• D． -$\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 利用兩角差的正弦函數公式可求得sinβ，進而可得tan$\frac{β}{2}$，根據α是第4象限角，可得$\frac{β}{2}$的范圍，利用正切函數的圖象和性質即可求得答案．

解答 解：∵cos（α+β）sinα-sin（α+β）cosα=$\frac{12}{13}$，
∴sin[α-（α+β）]=-sinβ=$\frac{12}{13}$，可得：sinβ=-$\frac{12}{13}$，
∴sinβ=2sin$\frac{β}{2}$cos$\frac{β}{2}$=$\frac{2sin\frac{β}{2}cos\frac{β}{2}}{si{n}^{2}\frac{β}{2}+co{s}^{2}\frac{β}{2}}$=$\frac{2tan\frac{β}{2}}{ta{n}^{2}\frac{β}{2}+1}$=-$\frac{12}{13}$，
∴解得：tan$\frac{β}{2}$=-$\frac{3}{2}$，或-$\frac{2}{3}$．
∵β是第四象限角，
∴2kπ-$\frac{π}{2}$＜β＜2kπ，k∈Z，則kπ-$\frac{π}{4}$＜$\frac{β}{2}$＜kπ，k∈Z，
∴tan$\frac{β}{2}$=-$\frac{2}{3}$．
故選：D．

點評 本題考查兩角和與差的正弦函數、倍角公式，考查學生靈活運用公式解決問題的能力，屬于中檔題．