Question

13．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+B（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$），且如圖所示的函數(shù)g（x）的圖象是由f（x）的圖象向下平移$\frac{5}{2}$個單位所得．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{2π}{3}$]時，求函數(shù)f（x）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由g（x）的圖象可以推到f（x）的圖象是由g（x）向上平移$\frac{5}{2}$個單位，A=$\frac{最大值-最小值}{2}$，B=$\frac{最大值+最小值}{2}$，求出A、B的值，根據(jù)函數(shù)周期求出ω，f（x）過點（$\frac{π}{3}$，$\frac{5}{2}$），代入函數(shù)即可求得φ的值，可求得f（x）的解析式；
（2）由x的取值范圍，寫出2x-$\frac{π}{6}$∈[$-\frac{π}{3}，\frac{7π}{6}$]，由正弦函數(shù)圖象，即可求得f（x）的取值范圍．

解答 解：（1）g（x）的圖象由f（x）的圖象向下平移$\frac{5}{2}$個單位，
則f（x）的圖象由g（x）向上平移$\frac{5}{2}$個單位，A=2，B=$\frac{1}{2}$；
T=2（$\frac{5π}{6}-\frac{π}{3}$）=π，$ω=\frac{2π}{T}$=2，
函數(shù)圖象過點（$\frac{π}{3}$，$\frac{5}{2}$），代入得：$\frac{5}{2}$=2sin（2×$\frac{π}{3}$+φ）+$\frac{1}{2}$；
|φ|＜$\frac{π}{2}$，φ=-$\frac{π}{6}$，
求函數(shù)f（x）的解析式f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$．
（2）x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{2π}{3}$，2x-$\frac{π}{6}$∈[$-\frac{π}{3}，\frac{7π}{6}$]，
根據(jù)函數(shù)圖象可知f（x）的取值范圍[$-\frac{\sqrt{3}}{2}，1$]．

點評 本題考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的解析式的確定與其圖象變換，著重考查正弦函數(shù)根據(jù)定義域求f（x）的值域，屬于中檔題．