Question

11．圓C的方程為x²+y²-6x+8=0，若直線y=kx-2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，則k的最大值是$\frac{12}{5}$．

Answer 1

分析 由于圓C的方程為（x-3）²+y²=1，由題意可知，只需（x-43）²+y²=4與直線y=kx-2有公共點(diǎn)即可．

解答 解：∵圓C的方程為x²+y²-6x+8=0，整理得：（x-3）²+y²=1，即圓C是以（3，0）為圓心，1為半徑的圓；
又直線y=kx-2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，
∴只需圓C′：（x-3）²+y²=4與直線y=kx-2有公共點(diǎn)即可．
設(shè)圓心C′（3，0）到直線y=kx-2的距離為d，
則d=$\frac{|3k-2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤2，即5k²-12k≤0，
∴0≤k≤$\frac{12}{5}$．
∴k的最大值$\frac{12}{5}$．
故答案為：$\frac{12}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，將條件轉(zhuǎn)化為“（x-3）²+y²=4與直線y=kx-2有公共點(diǎn)”是關(guān)鍵，考查學(xué)生靈活解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．