分析 (Ⅰ)設(shè)動(dòng)圓C的圓心坐標(biāo)為(x,y),點(diǎn)C到x軸的距離為y,由題意知:|CF|-y=1即$\sqrt{{x^2}+{{({y-1})}^2}}-y=1$(y>0,由此能求出曲線E的方程.
(Ⅱ)設(shè)直線AP的方程與拋物線方程聯(lián)立,由已知條件推導(dǎo)出x1x2=-4,x1+x2=4k1,即可求|AB|的最小值.
解答 解:(Ⅰ)設(shè)動(dòng)圓C的圓心坐標(biāo)為(x,y),點(diǎn)C到x軸的距離為y,…(1分)
由題意知:|CF|-y=1即$\sqrt{{x^2}+{{({y-1})}^2}}-y=1$(y>0)…(2分)
化簡(jiǎn)得x2=4y(y>0),即動(dòng)圓圓心C的軌跡E的方程為x2=4y(y>0).…(4分)
(Ⅱ)設(shè)$A({{x_1},\frac{x_1^2}{4}}),B({{x_2},\frac{x_2^2}{4}}),P({{x_0},{y_0}})$,直線AP的斜率為k,
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=k({x-{x_1}})+\frac{x_1^2}{4}\\ 4y={x^2}\end{array}\right.$,消去y得${x^2}-4kx+4k{x_1}-{x_1}^2=0$…(6分)
由$△={({4k})^2}-4({4k{x_1}-x_1^2})=0$得$k=\frac{x_1}{2}$,同理BP的斜率為$\frac{x_2}{2}$,…(7分)
因?yàn)锳P⊥BP,所以x1x2=-4…(8分)
直線AB的斜率為${k_1}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{4}$,直線AB的方程為$y=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{4}({x-{x_1}})+\frac{{{x_1}^2}}{4}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{4}x+1$.…(9分)
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y={k_1}x+1\\ 4y={x^2}\end{array}\right.$,消去y得x2-4k1x-4=0,…(10分)
得x1+x2=4k1,x1x2=-4,所以$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{{{({{x_1}+{x_2}})}^2}-4{x_1}{x_2}}=4({{k^2}+1})$.…(11分)
所以當(dāng)k=0時(shí),|AB|的最小值4. …(12分)
點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線方程的求法,考查線段最小值的求法,考查直線與拋物線的位置關(guān)系,屬于中檔題.
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