Question

1．已知動圓C過點F（0，1），圓心C在x軸上方，且到點F的距離比到x軸的距離大1．
（Ⅰ） 求動圓圓心C的軌跡E的方程；
（Ⅱ） 設(shè)A、B是曲線E上兩個不同的動點，過A、B分別作曲線E的切線，兩切線相交于P點，且AP⊥BP，求|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)動圓C的圓心坐標(biāo)為（x，y），點C到x軸的距離為y，由題意知：|CF|-y=1即$\sqrt{{x^2}+{{（{y-1}）}^2}}-y=1$（y＞0，由此能求出曲線E的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線AP的方程與拋物線方程聯(lián)立，由已知條件推導(dǎo)出x₁x₂=-4，x₁+x₂=4k₁，即可求|AB|的最小值．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)動圓C的圓心坐標(biāo)為（x，y），點C到x軸的距離為y，…（1分）
由題意知：|CF|-y=1即$\sqrt{{x^2}+{{（{y-1}）}^2}}-y=1$（y＞0）…（2分）
化簡得x²=4y（y＞0），即動圓圓心C的軌跡E的方程為x²=4y（y＞0）．…（4分）
（Ⅱ）設(shè)$A（{{x_1}，\frac{x_1^2}{4}}），B（{{x_2}，\frac{x_2^2}{4}}），P（{{x_0}，{y_0}}）$，直線AP的斜率為k，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=k（{x-{x_1}}）+\frac{x_1^2}{4}\\ 4y={x^2}\end{array}\right.$，消去y得${x^2}-4kx+4k{x_1}-{x_1}^2=0$…（6分）
由$△={（{4k}）^2}-4（{4k{x_1}-x_1^2}）=0$得$k=\frac{x_1}{2}$，同理BP的斜率為$\frac{x_2}{2}$，…（7分）
因為AP⊥BP，所以x₁x₂=-4…（8分）
直線AB的斜率為${k_1}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{4}$，直線AB的方程為$y=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{4}（{x-{x_1}}）+\frac{{{x_1}^2}}{4}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{4}x+1$．…（9分）
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y={k_1}x+1\\ 4y={x^2}\end{array}\right.$，消去y得x²-4k₁x-4=0，…（10分）
得x₁+x₂=4k₁，x₁x₂=-4，所以$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}•\sqrt{{{（{{x_1}+{x_2}}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=4（{{k^2}+1}）$．…（11分）
所以當(dāng)k=0時，|AB|的最小值4．    …（12分）

點評 本題考查曲線方程的求法，考查線段最小值的求法，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題．