Question

3．三棱錐A-BCD中，△BCD、△ACD均為邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)棱$AB=\sqrt{3}$，現(xiàn)對(duì)其四個(gè)頂點(diǎn)隨機(jī)貼上寫有數(shù)字1至8的8個(gè)標(biāo)簽中的4個(gè)，并記對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)為f（η）（η取值為A、B、C、D），E為側(cè)棱AB上一點(diǎn)
（1）求事件“f（C）+f（D）為偶數(shù)”的概率p₁；
（2）若|BE|：|EA|=f（B）：f（A），求二面角E-CD-A的平面角θ大于$\frac{π}{4}$的概率p₂．

Answer 1

分析 （1）用M₁表示“f（C）和f（D）均為奇數(shù)”，M₂表示“f（C）和f（D）均為偶數(shù)”，計(jì)算P（M₁）與P（M₂）的值，再求“f（C）+f（D）為偶數(shù)”的概率P₁=P（M₁）+P（M₂）；
（2）畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形，找出二面角E-CD-A的平面角θ，計(jì)算θ=$\frac{π}{4}$時(shí)$\frac{|AE|}{|BE|}$的值，θ＞$\frac{π}{4}$時(shí)$\frac{f（A）}{f（B）}$的值，討論f（B）=1、2或大于等于3時(shí)，f（A）的可能取值，從而求出P₂的值．

解答 解：（1）用M₁表示“f（C）+f（D）為奇數(shù)”，M₂表示“f（C）+f（D）為偶數(shù)”，
 由題意知，P（M₁）=$\frac{{A}_{4}^{2}}{{A}_{8}^{2}}$=$\frac{3}{14}$，P（M₂）=$\frac{{A}_{4}^{2}}{{A}_{8}^{2}}$=$\frac{3}{14}$；
 記“f（C）+f（D）為偶數(shù)”為事件Q，則Q=M₁+M₂，
 所以P₁=P（M₁）+P（M₂）=$\frac{3}{7}$；…4分
  （2）如圖，
取CD中點(diǎn)F，連結(jié)BF、AF、EF，
因?yàn)椤鰾CD、△ACD均為邊長(zhǎng)為2的正三角形，
所以AF⊥CD，BF⊥CD，因此CD⊥平面ABF，
所以∠AFE為二面角E-CD-A的平面角θ；…6分
又AF=BF=$\sqrt{3}$=AB，所以∠AFB=$\frac{π}{3}$；
若θ=$\frac{π}{4}$，則∠EFB=$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{12}$，
此時(shí)$\frac{|AE|}{|BE|}$=$\frac{{S}_{△AEF}}{{S}_{△BEF}}$=$\frac{\frac{1}{2}|AF|•|EF|•sin\frac{π}{4}}{\frac{1}{2}|BF|•|EF|•sin\frac{π}{12}}$=$\frac{sin\frac{π}{4}}{sin\frac{π}{12}}$=$\sqrt{3}$+1，
所以θ＞$\frac{π}{4}$即$\frac{f（A）}{f（B）}$＞$\sqrt{3}$+1；…8分
當(dāng)f（B）=1時(shí)，f（A）≥3，所以f（A）可取3，4，5，6，7，8共6個(gè)值；
當(dāng)f（B）=2時(shí)，f（A）≥6，所以f（A）可取6，7，8共3個(gè)值；
當(dāng)f（B）≥3時(shí)，f（A）≥9，所以f（A）不存在；
所以P₂=$\frac{9}{{A}_{8}^{2}}$=$\frac{9}{56}$．…12分

點(diǎn)評(píng) 本題考查了概率的計(jì)算與應(yīng)用問(wèn)題，考查了數(shù)形結(jié)合法與分類討論思想的應(yīng)用問(wèn)題，是全國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題目，屬于難題．