Question

6．已知$\frac{π}{6}＜α＜\frac{π}{2}$，$sin（α-\frac{π}{6}）=\frac{1}{3}$，則$tan（α-\frac{π}{6}）$=$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，$sin（\frac{2π}{3}+2α）$=$-\frac{{4\sqrt{2}}}{9}$．

Answer 1

分析 由已知可得0＜$α-\frac{π}{6}$＜$\frac{π}{3}$，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cos（$α-\frac{π}{6}$），$tan（α-\frac{π}{6}）$的值，利用誘導(dǎo)公式可求sin（$\frac{π}{3}$+α），cos（$\frac{π}{3}$+α）的值，利用二倍角的正弦函數(shù)公式即可化簡(jiǎn)求值．

解答 解：∵$\frac{π}{6}＜α＜\frac{π}{2}$，$sin（α-\frac{π}{6}）=\frac{1}{3}$，
∴0＜$α-\frac{π}{6}$＜$\frac{π}{3}$，
∴cos（$α-\frac{π}{6}$）=$\sqrt{1-si{n}^{2}（α-\frac{π}{6}）}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴$tan（α-\frac{π}{6}）$=$\frac{sin（α-\frac{π}{6}）}{cos（α-\frac{π}{6}）}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∵sin（$\frac{π}{3}$+α）=cos[$\frac{π}{2}$-（$\frac{π}{3}$+α）]=cos（$\frac{π}{6}$-α）=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
cos（$\frac{π}{3}$+α）=sin[$\frac{π}{2}$-（$\frac{π}{3}$+α）]=sin（$\frac{π}{6}$-α）=-$\frac{1}{3}$，
∴$sin（\frac{2π}{3}+2α）$=2sin（$\frac{π}{3}$+α）cos（$\frac{π}{3}$+α）=2×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$×（-$\frac{1}{3}$）=$-\frac{{4\sqrt{2}}}{9}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，$-\frac{{4\sqrt{2}}}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，誘導(dǎo)公式，二倍角的正弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．