Question

14．在△ABC中，AB=AC，M為AC邊上點(diǎn)，且AM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AC，BM=1，則△ABC的面積的最大值為2．

Answer 1

分析 設(shè)AB=AC=2x，使用余弦定理求出cosA，得出sinA，最后根據(jù)三角形面積公式表示出三角形面積的表達(dá)式，根據(jù)一元二次函數(shù)的性質(zhì)求得面積的最大值．

解答 解設(shè)AB=AC=2x，則AM=$\sqrt{3}x$．
在△ABM中，由余弦定理得cosA=$\frac{A{B}^{2}+A{M}^{2}-B{M}^{2}}{2AB•AM}$=$\frac{7{x}^{2}-1}{4\sqrt{3}{x}^{2}}$．
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{-{x}^{4}+14{x}^{2}-1}}{4\sqrt{3}{x}^{2}}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}AB•AC•sinA$=$\frac{1}{2}×2x×2x×$$\frac{\sqrt{-{x}^{4}+14{x}^{2}-1}}{4\sqrt{3}{x}^{2}}$=$\frac{\sqrt{-（{x}^{2}-7）^{2}+48}}{2\sqrt{3}}$．
∴當(dāng)x²=7時(shí)，S_△ABC取得最大值$\frac{\sqrt{48}}{2\sqrt{3}}$=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)最值的應(yīng)用，根據(jù)條件設(shè)出變量，根據(jù)三角形的面積公式以及三角函數(shù)的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出函數(shù)的最值，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．