Question

17．已知直線$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=1與圓x²+y²=1相切，則點（a，b）到原點的距離的最小值為2．

Answer 1

分析 利用直線$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=1與圓x²+y²=1相切，可得$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}$=1，利用a²+b²=（a²+b²）（$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}$），即可得出結論．

解答 解：∵直線$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=1與圓x²+y²=1相切，
∴$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}}}$=1，
∴$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}$=1，
∵a²+b²=（a²+b²）（$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}$）=2+$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$≥4，
∴$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$≥2
∴點（a，b）到原點的距離的最小值為2．
故答案為：2．

點評 本題考查直線與圓的位置關系，考查基本不等式的運用，正確運用點到直線的距離公式是關鍵．