Question

5．已知雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的一個焦點(diǎn)為F（$\sqrt{3}$，0），實(shí)軸長為2，經(jīng)過點(diǎn)M（2，1）作直線l交雙曲線C于A，B兩點(diǎn)，且M為AB中點(diǎn)．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件建立方程關(guān)系求出a，b，c的值即可求雙曲線C的方程；
（2）聯(lián)立直線和雙曲線，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，利用設(shè)而不求的思想，求出直線的斜率即可求直線l的方程．

解答 解：（1）由已知：2a=2，c=$\sqrt{3}$．
∴a=1，b²=c²-a²=2…（2分）
所以雙曲線C的方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1…（4分）
（2）設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
并設(shè)經(jīng)過點(diǎn)M的直線l的方程為y-1=k（x-2），即y=kx+1-2k…（5分）
把y=kx+1-2k代入雙曲線C的方程x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，
得（2-k²）x²-2k（1-2k）x-（1-2k）²-2=0，（2-k²≠0）①…（6分）
所以x_M=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{k（1-2k）}{2-{k}^{2}}=2$…（7分）
解得k=4．…（8分）
當(dāng)k=4時(shí)，方程①成為 14x²-56x+51=0 
根的判別式△=56²-56×51=280＞0，方程①有實(shí)數(shù)解．…（10分）
所以，直線l的方程為y=4x-7…（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查雙曲線的方程以及直線和雙曲線相交的性質(zhì)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式以及設(shè)而不求的思想是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的計(jì)算能力．