Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{4}^{lo{g}_{2}（8-x）}-4a}{4}$．
（Ⅰ）若f（4）=6，求a的值；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，b]（b＞0）時(shí)，函數(shù)f（x）的值域是[0，3b]，求a，b的值；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），（x＜4）}\\{（3a-1）x+12a，（x≥4）}\end{array}\right.$，若g（x）在（-∞，+∞）上是減函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）直接根據(jù)條件f（4）=6代入函數(shù)式，求得實(shí)數(shù)a的值；
（2）運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的值域，已經(jīng)解出a，b的值；
（3）根據(jù)分段函數(shù)的圖象和性質(zhì)，列出不等式求解．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{{4}^{lo{g}_{2}（8-x）}-4a}{4}$=$\frac{{2}^{lo{g}_{2}（8-x）^2}-4a}{4}$
=$\frac{1}{4}$[（8-x）²-4a]=$\frac{1}{4}$（x-8）²-a，其中，x＜8，
由f（4）=6得，$\frac{1}{4}$•4²-a=6，解得，a=-2，
即a的值為：-2；
（2）由（1）可知，x＜8，因此b＜8，
所以，f（x）在[0，b]上單調(diào)遞減，因此
f（x）_max=f（0）=16-a=3b，------------①
f（x）_min=f（b）=$\frac{1}{4}$（b-8）²-a=0，--------②
由①②解得，a=4，b=4，此時(shí)，f（x）=$\frac{1}{4}$（x-8）²-4，
當(dāng)x∈[0，4]時(shí)，f（x）∈[0，12]，符合題意，
故實(shí)數(shù)a，b的值分別為：4和4；
（3）g（x）在R上單調(diào)遞減，
當(dāng)x≥4時(shí)，g（x）=（3a-1）x+12a，單調(diào)遞減，
因此，3a-1＜0，解得a＜$\frac{1}{3}$，
當(dāng)x＜4時(shí)，g（x）=f（x）=$\frac{1}{4}$（x-8）²-a，單調(diào)遞減，
且當(dāng)x→4時(shí)，（3a-1）×4+12a≤4-a，解得，a≤$\frac{8}{25}$，
綜合以上討論得，實(shí)數(shù)a的取值范圍為：（-∞，$\frac{8}{25}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)解析式和函數(shù)值域的確定，以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，屬于難題．