Question

15．?dāng)?shù)列{a_n}的前m項為${a_1}，{a_2}，…，{a_m}（{m∈{N^*}}）$，若對任意正整數(shù)n，有a_n+m=a_nq（其中q為常數(shù)，q≠0且q≠1），則稱數(shù)列{a_n}是以m為周期，以q為周期公比的似周期性等比數(shù)列，已知似周期性等比數(shù)列{b_n}的前4項為1，1，1，2，周期為4，周期公比為3，則數(shù)列{b_n}前4t+2項的和等于$\frac{9}{2}•{3^t}-\frac{5}{2}$．（t為正整數(shù)）

Answer 1

分析 b_n的每4項求和的數(shù)列設(shè)為C_n，求b_n前4t項之和就是求C_n前t項之和．由于b_n是周期為4的似周期性等比數(shù)列，則$\frac{{B}_{n+4}}{{B}_{n}}$=3，所以$\frac{{C}_{n+1}}{{C}_{n}}$=3．由等比數(shù)列求和公式，即可得到所求和．

解答 解：把b_n的每4項求和的數(shù)列設(shè)為C_n，
也就是說 C₁=B₁+B₂+…+B₄，C_t=B_4t-3+B_4t-2+…+B_4t，
因此，求b_n前4t項之和就是求C_n前t項之和．
由于b_n是周期為4的似周期性等比數(shù)列，
則$\frac{{B}_{n+4}}{{B}_{n}}$=3，
所以$\frac{{C}_{n+1}}{{C}_{n}}$=3．
由等比數(shù)列求和公式，可得為c₁+c₂+c₃+…+c_t=$\frac{5（1-{3}^{t}）}{1-3}$
=$\frac{5}{2}$（3^t-1）．
這就是數(shù)列b_n前4t項之和，最后就是加上b_4t+1，b_4t+2這兩項，
由于b_4t+1=b₁×3^t=3^t．b_4t+2=b₁×3^t=3^t．
因此，數(shù)列b_n前4t+2項和就是$\frac{5}{2}$（3^t-1）+3^t+3^t=$\frac{9}{2}•{3^t}-\frac{5}{2}$．
故答案為：$\frac{9}{2}•{3^t}-\frac{5}{2}$．

點評 本題主要考查數(shù)列與函數(shù)的綜合、等比數(shù)列求和公式、新定義型問題的解決方法，考查運算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力和意識．