Question

3．已知A，B，C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，且滿足2sinA=$\sqrt{3}$sinC-sinB，則角A的取值范圍為（　�。�

• A． （0，$\frac{π}{6}$]
• B． （0，$\frac{π}{3}$]
• C． （0，$\frac{π}{2}$]
• D． [$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]

Answer 1

分析 由已知化簡(jiǎn)可得$\frac{sinA}{\sqrt{3}-cosA}=\frac{sinC}{2+cosC}$，以$\frac{1}{m}$代替上式，由角C的存在性找出$\frac{1}{m}$的取值限制，再由m推求對(duì)A的取值限制，可求得A的范圍．

解答 解：已知2sinA=$\sqrt{3}$sinC-sinB，將sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC代入：
2sinA=$\sqrt{3}$sinC-sinAcosC-cosAsinC；
分離A、C：$\frac{sinA}{\sqrt{3}-cosA}=\frac{sinC}{2+cosC}$；①
以$\frac{1}{m}$代替上式，由角C的存在性找出$\frac{1}{m}$的取值限制，再由m推求對(duì)A的取值限制，這樣就能滿足各種要求；
由$\frac{sinC}{2+cosC}$=$\frac{1}{m}$，
⇒msinC=2+cosC，
⇒m²sin²C=4+4cosC+cos²C，
⇒（1+m²）cos²C+4cosC+4-m²=0；
若三角形存在，即C存在，上列關(guān)于cosC的二次方程有實(shí)數(shù)解，根的判別式不小于0：
4²-4×（1+m²）（4-m²）≥0，
⇒m²-3≥0，
⇒m≥$\sqrt{3}$，
重回①式：$\frac{sinA}{\sqrt{3}-cosA}$≤$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
⇒$\sqrt{3}$sinA≤$\sqrt{3}$-cosA，
⇒3sin²A≤3-2$\sqrt{3}$cosA+cos²A；
消去正弦函數(shù)：4cos²A-2$\sqrt{3}$cosA≤0，
解得：cosA≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，A∈（0，$\frac{π}{6}$]．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用，一元二次方程的性質(zhì)，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，綜合性強(qiáng)，屬于中檔題．