Question

18．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{m}{x}$+2（m為實常數(shù)）．
（1）若函數(shù)f（x）圖象上動點P到定點Q（0，2）的距離的最小值為$\sqrt{2}$，求實數(shù)m的值；
（2）設m＜0，若不等式f（x）≤kx在x∈[$\frac{1}{2}$，1]時有解，求k的范圍．

Answer 1

分析 （1）設P（x，y），運用兩點的距離公式，結合基本不等式可得最小值，討論m的符號，即可得到所求m的值；
（2）由題意可得k≥$\frac{m}{{x}^{2}}$+$\frac{2}{x}$+1，令t=$\frac{1}{x}$，t∈[1，2]，可得k≥mt²+2t+1，令g（t）=mt²+2t+1，t∈[1，2]，要使原不等式在x∈[$\frac{1}{2}$，1]時有解，當且僅當k≥g（t）_min，討論g（1），g（2）的大小，即有m的范圍，結合二次函數(shù)的最值求法，可得k的范圍．

解答 解：（1）設P（x，y），則y=x+$\frac{m}{x}$+2，
|PQ|²=x²+（y-2）²=2x²+$\frac{{m}^{2}}{{x}^{2}}$+2m≥2$\sqrt{2{x}^{2}•\frac{{m}^{2}}{{x}^{2}}}$+2m=2$\sqrt{2}$|m|+2m=2，
當m＞0時，解得m=$\sqrt{2}$-1；當m＜0時，解得m=-$\sqrt{2}$-1；
（2）f（x）≤kx，即為x+$\frac{m}{x}$+2≤kx，
由x∈[$\frac{1}{2}$，1]，可得k≥$\frac{m}{{x}^{2}}$+$\frac{2}{x}$+1，
令t=$\frac{1}{x}$，t∈[1，2]，可得k≥mt²+2t+1，
令g（t）=mt²+2t+1，t∈[1，2]，
要使原不等式在x∈[$\frac{1}{2}$，1]時有解，當且僅當k≥g（t）_min，
由m＜0，g（t）=m（t+$\frac{1}{m}$）²+1-$\frac{1}{m}$開口向下，t∈[1，2]，
當0＜-$\frac{1}{m}$≤$\frac{3}{2}$時，即m≤-$\frac{2}{3}$，g（1）≥g（2），
可得g（t）_min=g（2）=4m+5；
當-$\frac{1}{m}$＞$\frac{3}{2}$時，即-$\frac{2}{3}$＜m＜0，可得g（1）＜g（2），
可得g（t）_min=g（1）=m+3．
綜上可得，m≤-$\frac{2}{3}$時，k的范圍是[4m+5，+∞）；
當-$\frac{2}{3}$＜m＜0時，k的范圍是[m+3，+∞）．

點評 本題考查基本不等式的運用：求最值，同時考查不等式存在性問題的解法，注意運用換元法和二次函數(shù)的最值的求法，考查運算能力，屬于中檔題．