Question

12．2015年春晚過后，為了研究演員上春晚次數(shù)與受關(guān)注度的關(guān)系，某站對其中一位經(jīng)常上春晚的演員上春晚次數(shù)與受關(guān)注度進(jìn)行了統(tǒng)計，得到如下數(shù)據(jù)：

上春晚次數(shù)x（單位：次）	2	4	6	8	10
粉絲數(shù)量y（單位：萬人）	10	20	40	80	100

（Ⅰ）若該演員的粉絲數(shù)量y與上春晚次數(shù)x滿足線性回歸方程，試求回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat$+$\widehat{a}$，并就此分析：該演員上春晚12次時的粉絲數(shù)量；
（Ⅱ）若用$\frac{y_i}{x_i}（i=1，2，3，4，5）$表示統(tǒng)計數(shù)據(jù)時粉絲的“即時均值”（精確到整數(shù)）：
（1）求這5次統(tǒng)計數(shù)據(jù)時粉絲的“即時均值”的方差；
（2）從“即時均值”中任選3組，求這三組數(shù)據(jù)之和不超過20的概率．
（參考公式：$\widehat{y}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}}-n\overline x\overline y}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2}-n{{\overline x}^2}}}$）

Answer 1

分析 （I）根據(jù)回歸系數(shù)公式計算回歸系數(shù)，得到回歸方程，并用回歸方程進(jìn)行數(shù)值估計；
（II）（1）求出5組即時均值，根據(jù)方差公式計算方差；
（2）利用古典概型的概率公式計算．

解答 解：（Ⅰ）經(jīng)計算可得：$\overline x=6$，$\overline y=50$，$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}}=1980$，$\sum_{i=1}^5{x_i^2}=220$，
所以：$\widehat{y}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}}-n\overline x\overline y}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2}-n{{\overline x}^2}}}$=12，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$=-22，
從而得回歸直線方程$\widehat{y}$=12x-22．
當(dāng)x=10時，$\widehat{y}$=12x-22=12×12-22=122．
該演員上春晚12次時的粉絲數(shù)量122萬人．
（Ⅱ）經(jīng)計算可知，這五組數(shù)據(jù)對應(yīng)的“即時均值”分別為：5，5，7，10，10，
（1）這五組“即時均值”的平均數(shù)為：7.4，則方差為${S^2}=\frac{1}{5}[2×{（5-7.4）^2}+{（7-7.4）^2}+2×{（10-7.4）^2}]=5.04$；
（2）這五組“即時均值”可以記為A₁，A₂，B，C₁，C₂，從“即時均值”中任選3組，選法共有${C}_{5}^{3}$=10種情況，
其中不超過20的情況有（A₁，A₂，B），（A₁，C₁，C₂），（A₂，C₁，C₂）共3種情況，故所求概率為：$P=\frac{3}{10}$．

點(diǎn)評 本題考查了利用最小二乘法求回歸直線方程，結(jié)合回歸直線方程進(jìn)行預(yù)測，平均數(shù)、方差的計算，古典概型的計算．屬于基礎(chǔ)題．