Question

4．已知橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$上任意一點(diǎn)M（除短軸端點(diǎn)外）與短軸兩端點(diǎn)B₁，B₂的連線分別與x軸交于P，Q兩點(diǎn)，O為橢圓的中心，求|OP|•|OQ|的值．

Answer 1

分析 設(shè)M（x₀，y₀），B₁（0，-2），B₂（0，2），求出直線MB₁，MB₂，從而求出P，Q兩點(diǎn)坐標(biāo)，由此能求出|OP|•|OQ|的值．

解答 解：設(shè)M（x₀，y₀），B₁（0，-2），B₂（0，2），
∴${k_{M{B_1}}}=\frac{{{y_0}+2}}{x_0}$，
∴${l_{M{B_1}}}：y+2=\frac{{{y_0}+2}}{x_0}•x$，
∵y=0，
∴${x_P}=\frac{{2{x_0}}}{{{y_0}+2}}$，
同理，${l_{M{B_2}}}：y+2=\frac{{{y_0}-2}}{x_0}•x⇒{x_Q}=\frac{{2{x_0}}}{{{y_0}-2}}$，
∴$|OP|•|OQ|=|{x_P}|•|{x_Q}|=\frac{4x_0^2}{|y_0^2-4|}$，
∵$\frac{x_0^2}{9}+\frac{y_0^2}{4}=1⇒4-y_0^2=\frac{4}{9}x_0^2$，
∴|OP|•|OQ|=9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩線段長的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直線方程、橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．