Question

【題目】設(shè)，，其中實(shí)數(shù)

（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)與的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，且存在最小值時(shí)，記的最小值為，求的值域；

（3）若與均在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，求的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）遞減區(qū)間為；遞增區(qū)間為（2）．（3）a≤﹣3或a≥1．

【解析】

（1）由f'（x）＝3x2+2ax﹣a2＝（3x﹣a）（x+a），a＞0，由f′（x）＞0，得x．由此能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．

（2）g（x）對(duì)稱軸為，當(dāng)a＞0時(shí)，a且a；當(dāng)a＜0時(shí)，a+2且a+2．由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

（3）由已知條件知x3﹣（a2﹣2）x＝0只有一個(gè)實(shí)根，得到a的范圍，再利用二次函數(shù)y＝g（x）有最小值，由此能求出h（a）的值域．

（1）∵f（x）＝x3+ax2﹣a2x+1，

∴f'（x）＝3x2+2ax﹣a2＝（3x﹣a）（x+a），

∵a＞0，∴由f′（x）＞0，得x．

∴f（x）的遞減區(qū)間為；

遞增區(qū)間為

（2）由函數(shù)y＝f（x），y＝g（x）關(guān)于x方程：x3+ax2﹣a2x+1＝ax2﹣2x+1，

即x3﹣（a2﹣2）x＝0只有一個(gè)實(shí)根，x=0滿足題意，

∴x2﹣（a2﹣2）＝0在x時(shí)無根，

∴a2﹣2≤0，解得．

二次函數(shù)y＝g（x）存在最小值，

∴a＞0，∴

∵g（x）＝ax2﹣2x+1＝a（x）21，

∴，∴h（a）的值域?yàn)?/span>．

（3）∵g（x）＝ax2﹣2x+1＝a（x）21，

∴對(duì)稱軸為，

當(dāng)a＞0時(shí)，由（1）知f（x）的遞增區(qū)間為，

∵g（x）在遞增，

依題意，

且（a，a+2）（），∴a且a，解得a≥1．

當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的遞增區(qū)間為，

g（x）在遞增，

依題意且（a，a+2）（﹣∞，），

∴a+2且a+2，解得a≤﹣3．

∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≤﹣3或a≥1．