Question

10．設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且$\frac{a}$cosC+$\frac{c}{2b}$=1．
（1）求角A的大��；
（2）若a=1，求△ABC的周長l的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）利用正弦定理、和差化積即可得出；
（II）利用正弦定理、和差化積、三角函數(shù)的單調性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由已知得$\frac{a}$cosC+$\frac{c}{2b}$=1．
即sinAcosC+$\frac{1}{2}$sinC=sinB，
又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴$\frac{1}{2}$sinC=cosAsinC．
∵sinC≠0，
∴cosA=$\frac{1}{2}$．
又∵A∈（0，π），∴$A=\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）由正弦定理得$b=\frac{asinB}{sinA}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$sinB，c=$\frac{2}{\sqrt{3}}$sinC，
∴l(xiāng)=a+b+c=1+$\frac{2}{\sqrt{3}}$sinB+$\frac{2}{\sqrt{3}}$sinC=1+$\frac{2}{\sqrt{3}}$[sinB+sin（A+B）]
=1+2$sin（B+\frac{π}{6}）$．
∵A=$\frac{π}{3}$，
∴B∈$（0，\frac{2π}{3}）$，$B+\frac{π}{6}$∈$（\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}）$，
∴sin$（B+\frac{π}{6}）$∈$（\frac{1}{2}，1]$．
故△ABC的周長l的取值范圍是（2，3]．

點評 本題考查了正弦定理、和差化積、三角函數(shù)的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．