Question

20．已知定義在R上的奇函數(shù)y=f（x）滿足：①當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x；②f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，則f（-log₂24）=$-\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 由f（x）的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱可以得出f（x）=f（x-4），從而可以得到f（-log₂24）=-f（log₂24-4）=-f（log₂3-1），可判斷l(xiāng)og₂3-1∈（0，1），從而可以求出$f（lo{g}_{2}3-1）=（\frac{1}{2}）^{lo{g}_{2}3-1}$，這樣根據(jù)指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化及指數(shù)的運(yùn)算即可求得答案．

解答 解：f（x）的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱；
∴f（x）=f（2-x）=-f（x-2）=f（x-4）；
即f（x）=f（x-4）；
∴f（-log₂24）=-f（log₂24）=-f（log₂24-4）=-f（log₂3-1）；
∵log₂3-1∈（0，1）；
∴$-f（lo{g}_{2}3-1）=-（\frac{1}{2}）^{lo{g}_{2}3-1}$=$-{2}^{lo{g}_{2}\frac{1}{3}+1}$=$-\frac{2}{3}$；
∴$f（-lo{g}_{2}24）=-\frac{2}{3}$．
故答案為：$-\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 考查奇函數(shù)的定義，f（x）關(guān)于x=a對(duì)稱時(shí)有f（x）=f（2a-x），以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算，指數(shù)的運(yùn)算，對(duì)數(shù)式和指數(shù)式的互化．