Question

15．設(shè)函數(shù)f（x）=（x+a）（|x-a+1|+|x-3|）-2x+4a的圖象是中心對稱圖形，則實(shí)數(shù)a的值為（　�。�

• A． -$\frac{2}{3}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． -$\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 ①當(dāng)a-1=3，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}-8，x≥3}\\{-2{x}^{2}-4x+40，x＜3}\end{array}\right.$，從而判斷；
②當(dāng)a-1≠3，即a≠4時，令b=min{a-1，3}，c=max{a-1，3}；從而可得f（x）在（-∞，b）上是二次函數(shù)，在（b，c）上是一次函數(shù)，在（c，+∞）上是二次函數(shù)；從而可得對稱中心一定在區(qū)間（b，c）的中點(diǎn)$\frac{a+2}{2}$，且在（-∞，b）上，f（x）=-2x²-ax+a（a+2）+4a，在（c，+∞）上，f（x）=2x²+（a-4）x-a（a+2）+4a，從而可得-$\frac{a}{4}$-$\frac{a-4}{4}$=2$\frac{a+2}{2}$，從而解得．

解答 解：①當(dāng)a-1=3，即a=4時，
f（x）=2（x+4）|x-3|-2x+16=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}-8，x≥3}\\{-2{x}^{2}-4x+40，x＜3}\end{array}\right.$，
故f（x）的圖象不是中心對稱圖形，
②當(dāng)a-1≠3，即a≠4時，
f（x）=（x+a）（|x-a+1|+|x-3|）-2x+4a，
設(shè)b=min{a-1，3}，c=max{a-1，3}；
故f（x）在（-∞，b）上是二次函數(shù)，在（b，c）上是一次函數(shù)，
在（c，+∞）上是二次函數(shù)；
故若f（x）的圖象是中心對稱圖形，
則對稱中心一定在區(qū)間（b，c）的中點(diǎn)，
在（-∞，b）上，f（x）=-2x²-ax+a（a+2）+4a，
在（c，+∞）上，f（x）=2x²+（a-4）x-a（a+2）+4a，
故-$\frac{a}{4}$-$\frac{a-4}{4}$=2$\frac{a+2}{2}$，
故a=-$\frac{2}{3}$；
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的對稱性的判斷與應(yīng)用，同時考查了分類討論的思想應(yīng)用．