Question

1．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，S_n=2a_n+n-3，n∈N*
（1）證明數(shù)列{a_n-1}為等比數(shù)列，并求{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{na_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由S_n=2a_n+n-3，n∈N^*，得S_n-1=2a_n-1+n-1-3，兩式相減，得a_n=2a_n-1-1，由此能證明數(shù)列{a_n-1}是以1為首項，以2為公比的等比數(shù)列．并能求出{a_n}的通項公式．
（2）由na_n=n•2^n-1+n，利用分組求和法和錯位相減法能求出數(shù)列{na_n}的前n項和．

解答 證明：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，S_n=2a_n+n-3，n∈N^*，①
a₁=S₁=2a₁+1-3，解得a₁=2，
∴當(dāng)n≥2時，S_n-1=2a_n-1+n-1-3，②
①-②，得a_n=2a_n-1-1，
∴a_n-1=2（a_n-1-1），
又a₁-1=1，
∴數(shù)列{a_n-1}是以1為首項，以2為公比的等比數(shù)列．
∴${a}_{n}-1=1×{2}^{n-1}$，
∴${a}_{n}={2}^{n-1}+1$．
解：（2）∵na_n=n•2^n-1+n，
∴數(shù)列{na_n}的前n項和：
T_n=1×2⁰+2×2+3×2²+…+n×2^n-1+（1+2+3+…+n）
=1×2⁰+2×2+3×2²+…+n×2^n-1+$\frac{n（n+1）}{2}$，③
2T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ+n（n+1），④
①-②，得：-T_n=1+2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ-$\frac{n（n+1）}{2}$
=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}-n•{2}^{n}-\frac{n（n+1）}{2}$
=$（1-n）×{2}^{n}-1-\frac{n（n+1）}{2}$，
∴T_n=（n-1）×2ⁿ+1+$\frac{n（n+1）}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項公式和前n項和的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意分組求和法和錯位相減法的合理運(yùn)用．