Question

5．設(shè)α為銳角，若$sin（{α+\frac{π}{6}}）=\frac{3}{5}$，則$cos（{2α+\frac{π}{12}}）$的值為$\frac{31}{50}\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先設(shè)β=α+$\frac{π}{6}$，根據(jù)sinβ求出cosβ，進(jìn)而求出sin2β和cos2β，最后用兩角和的正弦公式得到cos（2α+$\frac{π}{12}$）的值．

解答 解：設(shè)β=α+$\frac{π}{6}$，α為銳角，β=α+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$），
∵sinβ=$\frac{3}{5}$＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin$\frac{2π}{3}$，可得β為銳角，可求cosβ=$\frac{4}{5}$，sin2β=2sinβcosβ=$\frac{24}{25}$，cos2β=1-2sin²β=$\frac{7}{25}$，
∴cos（2α+$\frac{π}{12}$）=cos（2α+$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{4}$）=cos（2β-$\frac{π}{4}$）=cos2βcos$\frac{π}{4}$+sin2βsin$\frac{π}{4}$=$\frac{31}{50}\sqrt{2}$．
故答案為：$\frac{31}{50}\sqrt{2}$．

點評 本題要我們在已知銳角α+$\frac{π}{6}$的余弦值的情況下，求2α+$\frac{π}{12}$的余弦函數(shù)值，著重考查了兩角和與差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式，考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，屬于中檔題．