Question

4．已知函數(shù)f（x）=sinx，g（x）=e^x•f′（x），其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（I）求曲線y=g（x）在點（0，g（0））處的切線方程；
（Ⅱ）若對任意x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，不等式g（x）≥x•f（x）+m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）試探究當(dāng)x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]時，方程g（x）=x•f（x）的解的個數(shù)，并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點坐標(biāo)，運用點斜式方程即可得到切線方程；
（Ⅱ）等價于對任意x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，m≤[g（x）-x•f（x）]_min．設(shè)h（x）=g（x）-xf（x）=e^xcosx-xsinx，x∈[-$\frac{π}{2}$，0]．求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和最小值，即可得到m的范圍；
（Ⅲ）設(shè)H（x）=g（x）-xf（x）=e^xcosx-xsinx，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]．討論①當(dāng)x∈[-$\frac{π}{2}$，0]時，②當(dāng)x∈（0，$\frac{π}{4}$]時，g（x）＞xf（x）恒成立，③當(dāng)x∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]時，通過導(dǎo)數(shù)的符號判斷單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理，即可得到方程解的個數(shù)．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=sinx，g（x）=e^x•f′（x）=e^xcosx，
g（0）=e⁰cos0=1，g′（x）=e^x（cosx-sinx），
曲線y=g（x）在點（0，g（0））處的切線斜率為k=e⁰（cos0-sin0）=1，
所以曲線y=g（x）在點（0，g（0））處的切線方程為y-1=x-0．即為x-y+1=0．
（Ⅱ）等價于對任意x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，m≤[g（x）-x•f（x）]_min．
設(shè)h（x）=g（x）-xf（x）=e^xcosx-xsinx，x∈[-$\frac{π}{2}$，0]．
則h′（x）=e^xcosx-e^xsinx-sinx-xcosx=（e^x-x）cosx-（e^x+1）sinx
因為x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，所以（e^x-x）cosx≥0，sinx∈[-1，0]
所以h′（x）＞0，故h（x）在[-$\frac{π}{2}$，0]單調(diào)遞增，
因此當(dāng)x=-$\frac{π}{2}$時，函數(shù)h（x）取得最小值h（-$\frac{π}{2}$）=-$\frac{π}{2}$；
所以m≤-$\frac{π}{2}$，即實數(shù)m的取值范圍是（-∞，-$\frac{π}{2}$]；
（Ⅲ）設(shè)H（x）=g（x）-xf（x）=e^xcosx-xsinx，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]．
①當(dāng)x∈[-$\frac{π}{2}$，0]時，由（Ⅱ）知，函數(shù)H（x）在[-$\frac{π}{2}$，0]單調(diào)遞增，
故函數(shù)H（x）在[-$\frac{π}{2}$，0]至多只有一個零點，
又H（0）=1＞0，H（-$\frac{π}{2}$）=-$\frac{π}{2}$＜0，而且函數(shù)H（x）圖象在[-$\frac{π}{2}$，0]上是連續(xù)不斷的，
因此，函數(shù)H（x）在[-$\frac{π}{2}$，0]上有且只有一個零點．
②當(dāng)x∈（0，$\frac{π}{4}$]時，g（x）＞xf（x）恒成立．證明如下：
設(shè)φ（x）=e^x-x，x∈[0，$\frac{π}{4}$]，則φ′（x）=e^x-1≥0，所以φ（x）在[0，$\frac{π}{4}$]上單調(diào)遞增，
所以x∈（0，$\frac{π}{4}$]時，φ（x）＞φ（x）=1，所以e^x＞x＞0，
又x∈（0，$\frac{π}{4}$]時，cosx≥sinx＞0，所以e^xcosx＞xsinx，
即g（x）＞xf（x），即H（x）＞0．
故函數(shù)H（x）在（0，$\frac{π}{4}$]上沒有零點．
③當(dāng)x∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]時，H′（x）=e^x（cosx-sinx）-（sinx+xcosx）＜0，
所以函數(shù)H（x）在（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上單調(diào)遞減，
故函數(shù)H（x）在（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]至多只有一個零點，
又H（$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（${e}^{\frac{π}{4}}$-$\frac{π}{4}$）＞0，H（$\frac{π}{2}$）=-$\frac{π}{2}$＜0，
而且函數(shù)H（x）在（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上是連續(xù)不斷的，
因此，函數(shù)H（x）在（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]上有且只有一個零點．
綜上所述，當(dāng)x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]時，方程g（x）=x•f（x）有兩個解．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，同時考查單調(diào)性的運用和函數(shù)的零點存在定理，運用參數(shù)分離和分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．