Question

8．已知二次函數(shù)f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（0，4），對(duì)任意x滿足f（3-x）=f（x），且有最小值$\frac{7}{4}$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)h（x）=f（x）-（2t-3）x在[0，1]上的最小值g（t）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得：函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，$\frac{7}{4}$），設(shè)出頂點(diǎn)式方程，將點(diǎn)（0，4）代入可得，函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）分類(lèi)討論，函數(shù)h（x）在[0，1]上的單調(diào)性，進(jìn)而得到各種情況下函數(shù)h（x）在[0，1]上的最小值，綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）對(duì)任意x滿足f（3-x）=f（x），且有最小值$\frac{7}{4}$．
∴函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，$\frac{7}{4}$），
設(shè)f（x）=a（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{7}{4}$，
∵函數(shù)f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（0，4），
∴a（-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{7}{4}$=4，
∴a=1，
∴f（x）=（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{7}{4}$=x²-3x+4，
（Ⅱ）函數(shù)h（x）=f（x）-（2t-3）x=x²-2tx+4的圖象是開(kāi)口朝上，且以直線x=t為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線，
當(dāng)t＜0時(shí)，函數(shù)h（x）在[0，1]上為增函數(shù)，當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)h（x）的最小值g（t）=4；
當(dāng)0≤t≤1時(shí)，函數(shù)h（x）在[0，t]上為減函數(shù)，在[t，1]上為增函數(shù)，當(dāng)x=t時(shí)，函數(shù)h（x）的最小值g（t）=-t²+4；
當(dāng)t＞1時(shí)，函數(shù)h（x）在[0，1]上為減函數(shù)，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)h（x）的最小值g（t）=5-3t；
綜上所述，值g（t）=$\left\{\begin{array}{l}4，t＜0\\{-t}^{2}+4，0≤t≤1\\ 5-2t，t＞1\end{array}\right.$

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．