Question

5．對于三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d，給出定義：設(shè)f′（x）是函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)，f″（x）是f′（x）的導(dǎo)數(shù)，若方程f″（x）=0有實(shí)數(shù)解x₀，則稱點(diǎn)（x₀，f（x₀））為函數(shù)y=f（x）的“拐點(diǎn)”．某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對稱中心．若$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}+3x-\frac{5}{12}$，請你根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)，則函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}+3x-\frac{5}{12}$的對稱中心為（　�。�

• A． $（\frac{1}{2}，1）$
• B． $（-\frac{1}{2}，1）$
• C． $（\frac{1}{2}，-1）$
• D． $（-\frac{1}{2}，-1）$

Answer 1

分析 先求f′（x）得解析式，再求f″（x），由f″（x）=0 求得拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入函數(shù)解析式求拐點(diǎn)的縱坐標(biāo)．

解答 解：依題意，得：f′（x）=x²-x+3，
∴f″（x）=2x-1．
由f″（x）=0，即2x-1=0．
∴x=$\frac{1}{2}$，
又 f（$\frac{1}{2}$）=1，
∴函數(shù)f（x）的對稱中心為（$\frac{1}{2}$，1），
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)的求法，函數(shù)的拐點(diǎn)的定義以及函數(shù)圖象關(guān)于某點(diǎn)對稱的條件．