Question

1．已知f（x）=lg$\frac{1+{2}^{x}+{3}^{x}+…+{n}^{x}a}{n}$，其中a∈R，n∈N^*，n≥2．
（1）當(dāng)n=2時，不等式f（x）＞lg（x2^x-1）有解，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）如果f（x）當(dāng)x∈（-∞，1]時有意義，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把原不等式化為$\frac{1}{2}+a•{2}^{x-1}＞x•{2}^{x-1}$＞0，進一步轉(zhuǎn)化為$a＞x-\frac{1}{{2}^{x}}$（x＞0）有解，利用函數(shù)單調(diào)性求出$x-\frac{1}{{2}^{x}}$在（0，+∞）上的范圍得答案；
（2）f（x）當(dāng)x∈（-∞，1]時有意義的條件是1+2^x+…+n^xa＞0，x∈（-∞，1]，n≥2恒成立．分離參數(shù)a，可得a＞-[$（\frac{1}{n}）^{x}+（\frac{2}{n}）^{x}+…+（\frac{n-1}{n}）^{x}$]恒成立，
利用函數(shù)單調(diào)性求得y=-[$（\frac{1}{n}）^{x}+（\frac{2}{n}）^{x}+…+（\frac{n-1}{n}）^{x}$]在（-∞，1]上的最大值得答案．

解答 解：（1）當(dāng)n=2時，不等式f（x）＞lg（x2^x-1）化為$lg\frac{1+a•{2}^{x}}{2}＞lg（x{2}^{x-1}）$，
即$\frac{1}{2}+a•{2}^{x-1}＞x•{2}^{x-1}$＞0，
∵2^x-1＞0，∴等價于$a＞x-\frac{1}{{2}^{x}}$（x＞0）有解，
∵y=x與y=$-\frac{1}{{2}^{x}}$在（0，+∞）上都是增函數(shù)，則y=x-$\frac{1}{{2}^{x}}$在（0，+∞）上是增函數(shù)，
而$x-\frac{1}{{2}^{x}}＞0-\frac{1}{{2}^{0}}=-1$，
∴要使n=2時不等式f（x）＞lg（x2^x-1）有解，則實數(shù)a的取值范圍為（-1，+∞）；
（2）f（x）當(dāng)x∈（-∞，1]時有意義的條件是1+2^x+…+n^xa＞0，x∈（-∞，1]，n≥2恒成立．
即a＞-[$（\frac{1}{n}）^{x}+（\frac{2}{n}）^{x}+…+（\frac{n-1}{n}）^{x}$]恒成立，
∵y=-$（\frac{k}{n}）^{x}$，k=1，2，3，…，n-1在（-∞，1]上都是增函數(shù)，
∴y=-[$（\frac{1}{n}）^{x}+（\frac{2}{n}）^{x}+…+（\frac{n-1}{n}）^{x}$]在（-∞，1]上都是增函數(shù)，
從而當(dāng)x=1時，${y}_{max}=-（\frac{1}{n}+\frac{2}{n}+…+\frac{n-1}{n}）=-\frac{1}{2}（n-1）$．
∴a＞-[$（\frac{1}{n}）^{x}+（\frac{2}{n}）^{x}+…+（\frac{n-1}{n}）^{x}$]（n≥2）恒成立，只需a$＞-\frac{1}{2}$．
故實數(shù)a的取值范圍是（-$\frac{1}{2}$，+∞）．

點評 本題考查函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查了不等式恒成立問題，關(guān)鍵是注意利用單調(diào)性求解最值問題，是中檔題．