Question

13．如圖，A、B是離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$的橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的兩個頂點，且AB=$\sqrt{5}$．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）設(shè)直線l平行于AB，與x，y軸分別交于點M，N，與橢圓相交于點C，D．證明：△OCM的面積等于△ODN的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)離心率公式e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，AB=$\sqrt{5}$，即$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{5}$，及a²=b²+c²，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（2）l∥AB，設(shè)l的方程為：y=-$\frac{1}{2}$x+m，△＞0，求得m的取值范圍且m≠0，由x₁+x₂=2m，分別表示出△OCM的面積等于△ODN的面積，即可求得△OCM的面積等于△ODN的面積．

解答 解：（1）設(shè)橢圓焦距2c，依題意可知：e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
由AB=$\sqrt{5}$，即$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{5}$，
由a²=b²+c²，
代入即可求得a=2，b=1，
∴$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，
（2）證明：l∥AB，設(shè)l的方程為：y=-$\frac{1}{2}$x+m，
將其代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，消去y，整理得：x²-2mx+2m²-2=0，
△=4m²-4（2m²-2）＞0，解得：-$\sqrt{2}$＜m＜$\sqrt{2}$，
∵l不過原點，
∴-$\sqrt{2}$＜m＜$\sqrt{2}$，m≠0，
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=2m，
：△OCM的面積S₁，△ODN的面積S₂，
可知：M（2m，0），N（0，m）
x₂=2m-x₁，
S₂=$\frac{1}{2}$丨m丨•丨x₂丨=$\frac{1}{2}$丨m丨•丨2m-x₁丨，
S₁=$\frac{1}{2}$丨2m丨•丨y₁丨=丨2m丨•丨-$\frac{1}{2}$x₁+m丨=$\frac{1}{2}$丨m丨丨2m-x₁丨，
∴S₁=S₂．
△OCM的面積等于△ODN的面積．

點評 本題考查橢圓標準方程及簡單性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，三角形面積公式，屬于中檔題．