Question

20．已知函數f（x）=ln（x+m）-x（m為常數）在x=0處取得極值．
（Ⅰ）求實數m的取值；
（Ⅱ）求當x∈[$-\frac{1}{2}$，+∞）時，函數g（x）=f（x）-x²的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函數的導函數，利用f′（0）=0求得實數m的取值；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的m值代入f（x）的解析式，可得g（x）=f（x）-x²，再利用導數求其最大值．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$\frac{1}{x+m}-1$，
由題意知，f′（0）=$\frac{1}{0+m}-1=0$，解得m=1．
經檢驗符合題意，∴m=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=ln（x+1）-x，
則g（x）=f（x）-x² =ln（x+1）-x-x²（x$≥-\frac{1}{2}$）．
∴g′（x）=$\frac{1}{x+1}-1-2x=\frac{-x（2x+3）}{x+1}$．
當-$\frac{1}{2}$＜x＜0時，g′（x）＞0，g（x）單調遞增；
當x＞0時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減．
∴g（x）_max=g（0）=0．

點評 本題考查利用導數研究函數的單調性和極值，考查導數的運算法則，是中檔題．