Question

18．空間四點A、B、C、D滿足|$\overline{AB}$|=3，|$\overrightarrow{BC}$|=7，|$\overrightarrow{CD}$|=11，|$\overrightarrow{DA}$|=9，則$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$的取值為（　　）

• A． 只有一個
• B． 有二個
• C． 有四個
• D． 有無窮多個

Answer 1

分析 先把ABCD看成是平面圖形，過B作BE垂直AC，過D作DF垂直AC，運用勾股定理，可得E，F(xiàn)重合，再將圖形沿AC或BD折起，便是空間圖形，運用線面垂直的判定和性質(zhì)，得AC⊥BD，再由向量數(shù)量積的性質(zhì)，即可得到答案．

解答 解：由|$\overline{AB}$|=3，|$\overrightarrow{BC}$|=7，|$\overrightarrow{CD}$|=11，|$\overrightarrow{DA}$|=9，
知AB²+CD²=BC²+DA²=130，
BC²-AB²=CD²-DA²；
先把ABCD看成是平面圖形，
過B作BE垂直AC，過D作DF垂直AC，
則AB²=AE²+BE²，BC²=CE²+BE²，
則BC²-AB²=CE²-AE²．
同理CD²-DA²=CF²-AF²，即CF²-AF²=CE²-AE²，
又因為A，E，F(xiàn)，C在一條直線上，
所以滿足條件的只能是E，F(xiàn)重合，即有AC垂直BD，
再將圖形沿AC或BD折起，便是空間圖形；
由AC⊥BE，AC⊥DE，即有AC⊥平面BDE，則AC⊥BD，
即$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=0，所以$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$的取值只有一個．
故選：A．

點評 本題考查了空間中直線和平面的位置關(guān)系，以及向量的數(shù)量積的應(yīng)用問題，也考查了空間想象能力，是中檔題目．