Question

6．定義代數(shù)運(yùn)算a?b=$\sqrt{1-\frac{1}{2}ab}$-ka-2，則當(dāng)方程x?x=0有兩個(gè)不同解時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A． $（-\sqrt{2}，-\frac{{\sqrt{6}}}{2}）∪（\frac{{\sqrt{6}}}{2}，\sqrt{2}）$
• B． $[-\sqrt{2}，-\frac{{\sqrt{6}}}{2}）∪（\frac{{\sqrt{6}}}{2}，\sqrt{2}]$
• C． $[-\sqrt{2}，-\frac{{\sqrt{6}}}{2}]∪[\frac{{\sqrt{6}}}{2}，\sqrt{2}]$
• D． $[\frac{{\sqrt{6}}}{2}，\sqrt{2}]$

Answer 1

分析 根據(jù)定義運(yùn)算求出x?x=0的表達(dá)式，利用函數(shù)與方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)關(guān)系，結(jié)合直線和橢圓的位置關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵a?b=$\sqrt{1-\frac{1}{2}ab}$-ka-2，
∴x?x=$\sqrt{1-\frac{1}{2}{x}^{2}}$-kx-2，
由x?x=$\sqrt{1-\frac{1}{2}{x}^{2}}$-kx-2=0得$\sqrt{1-\frac{1}{2}{x}^{2}}$=kx+2，
設(shè)y=$\sqrt{1-\frac{1}{2}{x}^{2}}$和y=kx+2，
作出兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖：
由y=$\sqrt{1-\frac{1}{2}{x}^{2}}$=0得x²=2，即x=$\sqrt{2}$或x=-$\sqrt{2}$，
當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A（-$\sqrt{2}$，0），B（$\sqrt{2}$，0）時(shí)，直線和橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，
此時(shí)由$\sqrt{2}$k+2=0得k=-$\frac{2}{\sqrt{2}}$=-$\sqrt{2}$，
由-$\sqrt{2}$k+2=0得k=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
當(dāng)直線與橢圓相切時(shí)得1-$\frac{1}{2}$x²=（kx+2）²，
即（2k²+1）x²+8kx+6=0，
由判別式△=0得△=64k²-24（2k²+1）=0
即16k²-24=0，
則k²=$\frac{3}{2}$得k=$\frac{\sqrt{6}}{2}$或-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
則要使方程x?x=0有兩個(gè)不同解，則-$\sqrt{2}$≤k＜-$\frac{\sqrt{6}}{2}$或$\frac{\sqrt{6}}{2}$＜k≤$\sqrt{2}$，
即實(shí)數(shù)k的取值范圍是$[-\sqrt{2}，-\frac{{\sqrt{6}}}{2}）∪（\frac{{\sqrt{6}}}{2}，\sqrt{2}]$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用定義求出方程，利用函數(shù)與方程的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，結(jié)合數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．