Question

7．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，側(cè)面PAD是等腰三角形∠APD=90°，且平面PAD⊥平面ABCD
（Ⅰ）求證：PA⊥PC；
（Ⅱ）若AD=2，AB=4，求三棱錐P-ABD的體積；
（Ⅲ）在條件（Ⅱ）下，求四棱錐P-ABCD外接球的表面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知推導(dǎo)出CD⊥AD，CD⊥面PAD，從而PA⊥面PCD，進(jìn)而PA⊥PC．
（Ⅱ）取AD中點(diǎn)E，連結(jié)PE，推導(dǎo)出PE是棱錐P-ABD的高，由此能求出三棱錐P-ABD的體積．
（Ⅲ）連結(jié)AC，交BD于O，由OA=OB=OC=OD=$\sqrt{5}$，得外接球的半徑R=$\sqrt{5}$，由此能求出四棱錐P-ABCD的外接球的表面積．

解答 （本小題滿分13分）
證明：（Ⅰ）∵面PAD⊥面ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥AD，
∴CD⊥面PAD，
又CD?平面PCD，面PAD∩面PCD=PD，
∴PA⊥面PCD，
∴PA⊥PC．
解：（Ⅱ）取AD中點(diǎn)E，連結(jié)PE，
∵PA=PD，∴PE⊥AD，
又面PAD⊥面ABCD，∴PE⊥面ABCD，
∴PE是棱錐P-ABD的高，
在等腰直角三角形PAD中，AD=2，∴PE=1，
Rt△ABD中，AB=4，AD=2，∴${S}_{△ABD}=\frac{1}{2}×2×4=4$，
∴${V}_{P-ABD}=\frac{1}{3}{S}_{△ABD}•PE=\frac{1}{3}×4×1$=$\frac{4}{3}$．
（Ⅲ）連結(jié)AC，交BD于O，
∵ABCD是矩形，∴OA=OB=OC=OD=$\sqrt{5}$，
∴O為四棱錐P-ABCD的外接球的球心，且外接球的半徑R=$\sqrt{5}$，
∴四棱錐P-ABCD的外接球的表面積S=4π（$\sqrt{5}$）²=20π．

點(diǎn)評 本題考查異面直線垂直的證明，考查三棱錐的體積和四棱錐外接球的表面積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．