Question

14．已知圓C：（x-a）²+（y-2）²=4，其中a∈（0，+∞），直線l₁：x-y+3=0，被圓C截得的弦長(zhǎng)為2$\sqrt{2}$．
（1）求a的值；
（2）求過(guò)點(diǎn)（3，5）與圓C相切的切線方程；
（3）直線l₂過(guò)P（0，1）點(diǎn)交圓C于AB兩點(diǎn)，求AB中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）利用弦長(zhǎng)公式可得弦心距d=$\sqrt{2}$，再由點(diǎn)到直線的距離公式可得d=$\frac{|a-2+3|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，由此求得a的值；
（2）確定出圓的圓心的坐標(biāo)，并判斷得到已知點(diǎn)在圓外，分兩種情況：當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，得到x=3為圓的切線；當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線的斜率為k，由（3，5）和設(shè)出的k寫(xiě)出切線的方程，根據(jù)直線與圓相切時(shí)圓心到直線的距離等于圓的半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d，讓d等于圓的半徑即可列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，把k的值代入所設(shè)的切線方程即可確定出切線的方程．綜上，得到所有滿足題意的切線的方程．
（3）利用P（0，1），C（1，2）滿足：$\overrightarrow{PM}$$⊥\overrightarrow{CM}$，化簡(jiǎn)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）由題意利用弦長(zhǎng)公式可得弦心距d=$\sqrt{2}$，再由點(diǎn)到直線的距離公式可得d=$\frac{|a-2+3|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
解得a=1，或 a=-3（舍去），
∴a=1．
（2）圓C：（x-1）²+（y-2）²=4，圓心坐標(biāo)為（1，2），圓的半徑r=2
由（3，5）到圓心的距離為$\sqrt{13}$＞r=2，得到（3，5）在圓外，
∴①當(dāng)切線方程的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y-5=k（x-3）
由圓心到切線的距離d=$\frac{|-2k+3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=r=2，
化簡(jiǎn)得：12k=5，可解得k=$\frac{5}{12}$，
∴切線方程為5x-12y+45=0；
②當(dāng)過(guò)（3，5）斜率不存在直線方程為x=3與圓相切．
由①②可知切線方程為5x-12y+45=0或x=3．
（3）設(shè)M（x，y）
∵P（0，1），C（1，2）滿足：$\overrightarrow{PM}$$⊥\overrightarrow{CM}$，
∴（x，y-1）•（x-1，y-2）=0，
∴M的軌跡方程為：x²+y²-x-3y+2=0．（軌跡在圓C內(nèi)）

點(diǎn)評(píng) 此題考查學(xué)生掌握直線與圓相切時(shí)所滿足的條件，靈活運(yùn)用垂徑定理及勾股定理化簡(jiǎn)求值，靈活運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式化簡(jiǎn)求值，是一道綜合題．