Question

14．已知橢圓${C_1}：\frac{x^2}{a_1^2}+\frac{y^2}{b_1^2}=1（{{a_1}＞{b_1}＞0}）$與雙曲線${C_2}：\frac{x^2}{a_2^2}-\frac{y^2}{b_2^2}=1（{{a_2}＞0，{b_2}＞0}）$有相同的焦點F₁，F(xiàn)₂，點P是兩曲線的一個公共點，且PF₁⊥PF₂，e₁，e₂分別是兩曲線C₁，C₂的離心率，則$9e_1^2+e_2^2$的最小值是（　�。�

• A． 4
• B． 6
• C． 8
• D． 16

Answer 1

分析 由題意設(shè)焦距為2c，橢圓長軸長為2a₁，雙曲線實軸為2a₂，令P在雙曲線的右支上，由已知條件結(jié)合雙曲線和橢圓的定義推出a₁²+a₂²=2c²，由此能求出9e₁²+e₂²的最小值．

解答 解：由題意設(shè)焦距為2c，橢圓長軸長為2a₁，雙曲線實軸為2a₂，
令P在雙曲線的右支上，
由雙曲線的定義|PF₁|-|PF₂|=2a₂，①
由橢圓定義|PF₁|+|PF₂|=2a₁，②
又∵PF₁⊥PF₂，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=4c²，③
①²+②²，得|PF₁|²+|PF₂|²=2a₁²+2a₂²，④
將④代入③，得a₁²+a₂²=2c²，
∴9e₁²+e₂²=$\frac{9{c}^{2}}{{{a}_{1}}^{2}}$+$\frac{{c}^{2}}{{{a}_{2}}^{2}}$=5+$\frac{9{{a}_{2}}^{2}}{{{2a}_{1}}^{2}}$+$\frac{{{a}_{1}}^{2}}{2{{a}_{2}}^{2}}$≥8，即$9e_1^2+e_2^2$的最小值是8．
故選：C．

點評 本題考查9e₁²+e₂²的最小值的求法，是中檔題，解題時要熟練掌握雙曲線、橢圓的定義，注意均值定理的合理運用．