Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin$\frac{π}{2}$xcos$\frac{π}{2}$x+cos²$\frac{π}{2}$x-$\frac{1}{2}$（-1≤x≤1），g（x）是定義域為[-1，1]的偶函數(shù)，且當x∈[0，1]時，g（x）=f（x）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）若方程g（x）=m恰有四個不相等實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)恒等變換的應用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=sin（πx+$\frac{π}{6}$），由2kπ-$\frac{π}{2}$≤πx+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間，由2kπ+$\frac{π}{2}$≤πx+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，解得：函數(shù)f（x）的單調減區(qū)間．
（2）當x∈[0，1]時，g（x）=sin（πx+$\frac{π}{6}$）∈[$-\frac{1}{2}$，1]，由題意，方程g（x）=m在x∈[0，1]上恰有2個不相等實數(shù)根，結合正弦函數(shù)的圖象和性質即可得解m∈（$\frac{1}{2}$，1）．

解答 解：（1）∵f（x）=$\sqrt{3}$sin$\frac{π}{2}$xcos$\frac{π}{2}$x+cos²$\frac{π}{2}$x-$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinπx+$\frac{1}{2}$cosπx
=sin（πx+$\frac{π}{6}$），
∴由2kπ-$\frac{π}{2}$≤πx+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：2k$-\frac{2}{3}$≤x≤2k$+\frac{1}{3}$，k∈Z，
可得函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間為：[2k$-\frac{2}{3}$，2k$+\frac{1}{3}$]，k∈Z；
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤πx+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，解得：2k$+\frac{1}{3}$≤x≤2k+$\frac{4}{3}$，k∈Z，
可得函數(shù)f（x）的單調減區(qū)間為：[2k$+\frac{1}{3}$，2k+$\frac{4}{3}$]，k∈Z；
（2）∵當x∈[0，1]時，g（x）=f（x）=sin（πx+$\frac{π}{6}$）∈[$-\frac{1}{2}$，1]，
∵g（x）是定義域為[-1，1]的偶函數(shù)，方程g（x）=m恰有四個不相等實數(shù)根，
∴由題意，方程g（x）=m在x∈[0，1]上恰有2個不相等實數(shù)根，
結合函數(shù)圖象可知：m∈（$\frac{1}{2}$，1）．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應用，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質，考查了數(shù)形結合思想的應用，屬于中檔題．