Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{2x}}{x}$的定義域?yàn)椋?，+∞），（a=2.71828..-自然對數(shù)的底數(shù)）
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）在[m，m+2〕（m＞0）上的最小值；
（Ⅱ）若x＞1時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象總在函數(shù)g（x）=2tlnx+$\frac{t}{x}$+t的圖象的上方，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（Ⅲ）求證：$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{i{e}^{2i}}$＜$\frac{7}{8e}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過對函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{2x}}{x}$求導(dǎo)，可得f（x）的單調(diào)性，再分$m≤\frac{1}{2}≤m+2$，即$0＜m≤\frac{1}{2}$時(shí)，與$m＞\frac{1}{2}$時(shí)，討論即可；
（Ⅱ）構(gòu)造F（x）=f（x）-g（x），通過對F′（x）的正負(fù)情況的討論得F（x）的單調(diào)性，從而可得$t≤\frac{1}{2}{e}^{2}$；
（Ⅲ）由（I）可知，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=$\frac{{e}^{2x}}{x}≥2e$，變形得$\frac{1}{n{e}^{2n}}=\frac{n}{{n}^{2}{e}^{2n}}≤\frac{1}{{n}^{2}}•\frac{1}{2e}$，利用放縮法即可．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{2x}}{x}$的定義域?yàn)椋?，+∞），
∴f′（x）=$\frac{{e}^{2x}（2x-1）}{{x}^{2}}$，
∴當(dāng)2x-1＞0，即$x＞\frac{1}{2}$時(shí)，f′（x）＞0，于是f（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)2x-1＜0，即$x＜\frac{1}{2}$時(shí)，f′（x）＜0，于是f（x）在（-∞，$\frac{1}{2}$）上單調(diào)遞減；
∵m＞0，∴m+2＞2，分情況討論：
①$m≤\frac{1}{2}≤m+2$，即$0＜m≤\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）在$（m，\frac{1}{2}）$上單調(diào)遞減，
在$（\frac{1}{2}，m+2）$上單調(diào)遞增，所以f_min（x）=$f（\frac{1}{2}）=2e$；
②當(dāng)$m＞\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）在[m，m+2]上單調(diào)遞增，所以f_min（x）=f（m）=$\frac{{e}^{2m}}{m}$；
綜上所述，當(dāng)$0＜m≤\frac{1}{2}$時(shí)，f_min（x）=2e；當(dāng)$m＞\frac{1}{2}$時(shí)，f_min（x）=$\frac{{e}^{2m}}{m}$；
（Ⅱ）構(gòu)造F（x）=f（x）-g（x） （x＞1），由題意，
得F（x）=$\frac{{e}^{2x}-t}{x}-2tlnx-t＞0$（x＞1），
F′（x）=$\frac{2x{e}^{2x}-{e}^{2x}+t}{{x}^{2}}-\frac{2t}{x}$=$\frac{（2x-1）（{e}^{2x}-t）}{{x}^{2}}$（x＞1），
①當(dāng)t≤e²時(shí)，e^2x-t≥0成立，則x＞1時(shí)，F(xiàn)′（x）≥0，即F（1）=e²-2t≥0，即$t≤\frac{1}{2}{e}^{2}$；
②當(dāng)t＞e²時(shí)，F(xiàn)′（x）=0得x=$\frac{1}{2}$或$\frac{1}{2}lnt$，
∴F（x）在（1，$\frac{1}{2}lnt$）上單調(diào)遞減，在（$\frac{1}{2}lnt$，+∞）上單調(diào)遞增，
所以F_min（x）=$f（\frac{1}{2}lnt）$=$-2ln（\frac{1}{2}lnt）-t＜0$，故不成立；
綜上所述：$t≤\frac{1}{2}{e}^{2}$；
（Ⅲ）由（I）可知，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=$\frac{{e}^{2x}}{x}≥2e$，
則$\frac{x}{{e}^{2x}}≤\frac{1}{2e}\\;（x＞0）$，所以$\frac{1}{n{e}^{2n}}=\frac{n}{{n}^{2}{e}^{2n}}≤\frac{1}{{n}^{2}}•\frac{1}{2e}$，
從而$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{i{e}^{2i}}$=$\frac{1}{{e}^{2}}+\frac{1}{2（{e}^{2}）^{2}}+\frac{1}{3（{e}^{2}）^{3}}+…+\frac{1}{n（{e}^{2}）^{n}}$
$≤\frac{1}{2e}（1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}+…+\frac{1}{{n}^{2}}）$
＜$\frac{1}{2e}（1+\frac{1}{{2}^{2}-1}+\frac{1}{{3}^{2}-1}+…+\frac{1}{{n}^{2}-1}）$
=$\frac{1}{2e}$[1+$\frac{1}{2}$（$1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}$）]
=$\frac{1}{2e}[1+\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
＜$\frac{7}{8e}$．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，放縮法，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想、運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力和推理論證能力．