Question

6．已知曲線C₁的極坐標(biāo)方程是ρ=4cosθ，曲線C₁經(jīng)過平移變換$\left\{\begin{array}{l}{x^'}=x+2\\{y^'}=y-1\end{array}\right.$得到曲線C₂；以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+tcosθ}\\{y=1+tsinθ}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)）．
（1）求曲線C₁，C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)直線l與曲線C₁交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為（2，1），若$\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{MB}$，求直線l的普通方程．

Answer 1

分析 （1）利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系：ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進(jìn)行代換即得．
（2）設(shè)A（2+t_Acosθ，1+t_Asinθ），B（2+t_Bcosθ，1+t_Bsinθ）．把直線的參數(shù)方程代入曲線C₁的方程，根據(jù)t的幾何意義即可求出．

解答 解：（1）曲線C₁的極坐標(biāo)方程是ρ=4cosθ，直角坐標(biāo)方程為（x-2）²+y²=4．
曲線C₁經(jīng)過平移變換$\left\{\begin{array}{l}{x^'}=x+2\\{y^'}=y-1\end{array}\right.$得到曲線${C_2}：{（x-4）^2}+{（y+1）^2}=4$…（4分）
（2）設(shè)A（2+t₁cosθ，1+t₁sinθ），B（2+t₂cosθ，1+t₂sinθ），
由$\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{MB}$，得t₁=-2t₂①…（4分）
聯(lián)立直線的參數(shù)方程與曲線C₁的直角坐標(biāo)方程得：t²cos²θ+（1+tsinθ）²=4，
整理得：t²+2tsinθ-3=0，∴t₁+t₂=-2sinθ，t₁•t₂=-3，與①聯(lián)立得：$sinθ=\frac{{\sqrt{6}}}{4}$，$cosθ=±\frac{{\sqrt{10}}}{4}$…（8分）∴直線的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+\frac{{\sqrt{10}}}{4}t}\\{y=1+\frac{{\sqrt{6}}}{4}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)）或$\left\{{\begin{array}{l}{x=2-\frac{{\sqrt{10}}}{4}t}\\{y=1+\frac{{\sqrt{6}}}{4}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)）
消去參數(shù)的普通方程為$\sqrt{15}x-5y-2\sqrt{15}=0$或$\sqrt{15}x+5y-2\sqrt{15}=0$…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)、直角坐標(biāo)方程、及參數(shù)方程的互化，考查了方程思想，屬于基礎(chǔ)題．