Question

4．（Ⅰ）證明：$\frac{sinα}{1+cosα}$=$\frac{1-cosα}{sinα}$．                            
（Ⅱ）已知圓的方程是x²+y²=r²，則經(jīng)過圓上一點(diǎn)M（x₀，y₀）的切線方程為x₀x+y₀y=r²，類比上述性質(zhì)，試寫出橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1類似的性質(zhì)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用分析法進(jìn)行證明；
（Ⅱ）經(jīng)過圓上一點(diǎn)M（x₀，y₀）的切線方程就是將圓的方程中的一個(gè)x與y分別用M（x₀，y₀）的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)替換．由此類比得到．

解答 （Ⅰ）證明：欲證$\frac{sinα}{1+cosα}=\frac{1-cosα}{sinα}$，
只需證sin²α=（1-cosα）（1+cosα），
即證sin²α=1-cos²α，
上式顯然成立，故原等式成立． …5分
（Ⅱ）解：圓的性質(zhì)中，經(jīng)過圓上一點(diǎn)M（x₀，y₀）的切線方程就是將圓的方程中的一個(gè)x與y分別用M（x₀，y₀）的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)替換．故可得橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$類似的性質(zhì)為：過橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$一點(diǎn)P（x₀，y₀）的切線方程為$\frac{{{x_0}x}}{a^2}+\frac{{{y_0}y}}{b^2}=1$．…10分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)恒等式的證明以及類比推理．