Question

給定橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），稱圓C₁：x²+y²=a²+b²為橢圓C的“伴隨圓”．已知橢圓C的離心率為

3

2

，且經(jīng)過點(diǎn)（0，1）．
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）若過點(diǎn)P（0，m）（m＞0）的直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且l被橢圓C的伴隨圓C₁所截得的弦長為2

2

，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）記橢圓C的半焦距為c．由題意，得b=1，

c

a

=

3

2

，由此能求出a，b．
（2）由（1）知，橢圓C的方程為

x2

4

+y²=1，圓C₁的方程為x²+y²=5．設(shè)直線l的方程為y=kx+m，由

y=kx+m x2 4 +y2=1

，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0．由此利用根的判別式、弦長公式、圓心到直線的距離，結(jié)合知識點(diǎn)能求出m．

解答： （本小題滿分16分）
解：（1）記橢圓C的半焦距為c．
由題意，得b=1，

c

a

=

3

2

，c²=a²+b²，
解得a=2，b=1．…（4分）
（2）由（1）知，橢圓C的方程為

x2

4

+y²=1，圓C₁的方程為x²+y²=5．
顯然直線l的斜率存在．
設(shè)直線l的方程為y=kx+m，即kx-y+m=0．  …（6分）
因?yàn)橹本�l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，
故方程組

y=kx+m x2 4 +y2=1

（*）有且只有一組解．
由（*）得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0．
從而△=（8km）²-4（1+4k²）（ 4m²-4）=0．
化簡，得m²=1+4k²．①…（10分）
因?yàn)橹本�l被圓x²+y²=5所截得的弦長為2

2

，
所以圓心到直線l的距離d=

5-2

=

3

．
即

|m|

k2+1

=

3

．    ②…（14分）
由①②，解得k²=2，m²=9．
因?yàn)閙＞0，所以m=3． …（16分）

點(diǎn)評：本題主要考查實(shí)數(shù)值的求法，考查直線與橢圓、圓等知識，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和運(yùn)算求解能力．