Question

4．已知函數(shù)f（x）=cos²ωx-sin²ωx+2$\sqrt{3}$cosωx•sinωx，其中ω＞0，若f（x）相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸間的距離不小于$\frac{π}{2}$
（1）求ω的取值范圍及函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，a=$\sqrt{3}$，b+c=3，當(dāng)ω最大時(shí)，f（A）=1，求sinB•sinC的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角的正弦公式、余弦公式，兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)解析式，由三角函數(shù)的周期公式表示出
f（x）的最小正周期，結(jié)合條件列出不等式求出ω的范圍，由正弦函數(shù)的增區(qū)間求出f（x）的遞增區(qū)間；
（2）由（1）化簡(jiǎn)f（A）=1，由A的范圍和特殊角的三角函數(shù)值求出A，由條件和余弦定理求出bc的值，由正弦定理和條件求出sinB、sinC，即可求出sinB•sinC的值．

解答 解：（1）由題意得，f（x）=cos²ωx-sin²ωx+2$\sqrt{3}$cosωx•sinωx
=cos2ωx+$\sqrt{3}$sin2ωx=$2sin（2ωx+\frac{π}{6}）$；…3分
由ω＞0得，函數(shù)f（x） 的周期T=$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{π}{ω}$，
∵f（x）相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸間的距離不小于$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{T}{2}≥\frac{π}{2}$，則$\frac{π}{ω}≥π$，解得0＜ω≤1，
∴ω的取值范圍是（0，1]．…4分
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ（k∈Z）$得，
$\frac{kπ}{ω}-\frac{π}{3ω}≤x≤\frac{kπ}{ω}+\frac{π}{6ω}（k∈Z）$，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$[\frac{kπ}{ω}-\frac{π}{3ω}，\frac{kπ}{ω}+\frac{π}{6ω}]（k∈Z）$； …6分
（2）由（1）可知ω的最大值為1，
∴f（x）=$2sin（2x+\frac{π}{6}）$，由f（A）=1得$sin（2A+\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，
由0＜A＜π得$\frac{π}{6}＜2A+\frac{π}{6}＜\frac{13π}{6}$，∴$2A+\frac{π}{6}=\frac{5π}{6}$，解得A=$\frac{π}{3}$，…7分
由余弦定理得cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
把a(bǔ)=$\sqrt{3}$代入化簡(jiǎn)得，b²+c²-bc=3，…8分
又b+c=3聯(lián)立解得bc=2，…9分
由正弦定理知$\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}$=2R（R為△ABC的外接圓半徑），…10分
又2R=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{\sqrt{3}}{sin\frac{π}{3}}$=2，∴sinB=$\frac{2R}=\frac{2}$，sinC=$\frac{c}{2R}=\frac{c}{2}$，…11分
∴sinBsinC=$\frac{2}•\frac{c}{2}=\frac{1}{2}$  …12分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，三角函數(shù)的周期公式，三角恒等變換中的公式，以及正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用，考查整體思想，化簡(jiǎn)、變形能力．