Question

20．在等差數(shù)列{a_n}中，S_n為其前n項(xiàng)和，已知a₆=S₆=-3；數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足：b_n+1=2b_n，b₂+b₄=20．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)${c_n}={2^{a_n}}$，求數(shù)列{c_n}前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，從而可得$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}+5d=-3}\\{6{a_1}+15d=-3}\end{array}}\right.$，從而求a_n，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求b_n；
（2）化簡(jiǎn)${c_n}={2^{3-n}}=\frac{8}{2^n}$，從而可得數(shù)列{c_n}是首項(xiàng)為4，公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，從而求前n項(xiàng)和．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
則$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}+5d=-3}\\{6{a_1}+15d=-3}\end{array}}\right.$，
解得，$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}=2}\\{d=-1}\end{array}}\right.$；
∴a_n=2-（n-1）=3-n；
∵b_n+1=2b_n，
∴數(shù)列{b_n}是公比為2的等比數(shù)列，
∵b₂+b₄=2b₁+8b₁=20，
∴b₁=2，
∴${b_n}=2•{2^{n-1}}={2^n}$；
（2）∵${c_n}={2^{3-n}}=\frac{8}{2^n}$，
∴$\frac{{{c_{n+1}}}}{c_n}=\frac{1}{2}$，
∴數(shù)列{c_n}是首項(xiàng)為4，公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，
∴${T_n}=\frac{{4（1-（\frac{1}{2}{）^n}）}}{{1-\frac{1}{2}}}=8（1-{2^{-n}}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的應(yīng)用及通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用．