Question

16．已知復(fù)數(shù)z₁滿足z₁（2+i）=5i（i為虛數(shù)單位），若復(fù)數(shù)z₂滿足z₁+z₂是實(shí)數(shù)，z₁•z₂是純虛數(shù)，求復(fù)數(shù)z₂．

Answer 1

分析 由z₁（2+i）=5i（i為虛數(shù)單位），可得z₁=2i+1，設(shè)z₂=a+bi，（a，b∈R），再利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)、純虛數(shù)的充要條件即可得出．

解答 解：∵z₁（2+i）=5i（i為虛數(shù)單位），
∴z₁（2+i）（2-i）=5i（2-i），∴z₁=i（2-i）=2i+1，
設(shè)z₂=a+bi，（a，b∈R），
∵復(fù)數(shù)z₂滿足z₁+z₂=1+2i+（a+bi）=（1+a）+（2+b）i為實(shí)數(shù)，
∴2+b=0，解得b=-2．
∵z₁•z₂=（1+2i）（a-2i）=a+4+（2a-1）i為純虛數(shù)，
∴a+4=0，2a-1≠0，解得a=-4．
∴復(fù)數(shù)z₂=-4-2i．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)及純虛數(shù)的充要條件，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．